讲师：孟九章《选修4－5》系列：绝对值三角不等式知识要点（1）（2）2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．注意：在上面的不等式中，用向量a，b分别替换实数a，b，当向量a，b不共线时，那么由向量加法的三角形法则，因此我们有向量形式的不等式3．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点4．一个非常有用的结论：|a|－|b|≤|a+b|≤|a|＋|b|注意：不等式右边“＝”成立的条件是ab≥0，左边“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|．典例剖析例1．|x＋y|<13，|2x－y|<16．求证：|y|<518．【点拨】本类题目的解题关键是配凑，配凑成能利用绝对值三角不等式的形式．易错的地方是把两个绝对值不等式都展开，分别求x、y的范围．若是这样求，便扩大或缩小了不等式本质的范围．当然本题还可以用二元一次不等式表示平面区域的方法去解决，但是这样做的话解题比较麻烦．【点拨】先确定的取值范围，则只要不大于的最小值即可，主要运用基本不等式．12xxa12xxababab例2．若不等式对任意R恒成立，则a的取值范围是．1+2xxa解题总结：第一问用了“在不等量关系中找等量关系”的解题思想方法，也就是“夹逼法”；第二问主要运用三角不等式得出最值，需要同学们对三角不等式非常熟练和掌握．例3．设不等式的解集为A，且.（1）求a的值；（2）求函数的最小值．*2()xaaN＜31,22AA()2fxxax技巧传播技巧一：有些绝对值不等式证明问题我们拿到手的时候发现无从下手，事实上我们可以通过配凑消元的方法（也就是利用绝对值三角不等式定理）进行解决．配凑的手段和配凑均值不等式类似，但又不完全相同．陷阱规避陷阱一陷阱二•陷阱：对题意理解不清导致错误．把恒成立问题看成存在性问题，把存在性问题看成恒成立问题．•克服方法：分清存在性和恒成立问题．存在性问题一般会出现特称量词，恒成立问题一般会出现全称量词．【易错典例】如果关于x的不等式|x－3|+|x－4|＞a的解集不是R,则参数a的取值范围是_____.【错解】∵|x－3|+|x－4|=|x－3|+|4－x|≥|x－3+4－x|=1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时取得最小值1．∴a≤1．【错因】对题意理解错误．解集不是R是存在性问题，而不是恒成立问题．
