压轴大题突破练压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过(1)中轨迹E上的点P(1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解(1)依题意，得MA＝MB.∴动点M的轨迹E是以A(1,0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)∵P(1,2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴y21＝4x1，①y22＝4x2，②由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴直线CD的斜率为kCD＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.③设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，由y2＝4x，y＝kx－k＋2，得ky2－4y－4k＋8＝0.由2＋y1＝4k，求得y1＝4k－2，同理可求得y2＝－4k－2.∴kCD＝4y1＋y2＝44k－2＋－4k－2＝－1，∴直线CD的斜率为定值－1.2．(2016·课标全国丙)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．由题意知F12，0，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝b－0－12－12＝k2.所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝12|b－a|·FD＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.3．椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝22.设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆E的方程；(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2.(1)解设F1(－c,0)，F2(c,0)，则ca＝22，2a＋2c＝22＋1，解得a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)解由x22＋y2＝1，y＝kx＋m?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝|－k＋m|k2＋1，d2＝|k＋m|k2＋1，则d1·d2＝m2－k2k2＋1＝k2＋1k2＋1＝1.(3)证明∵x0＝－2km1＋2k2＝－2km，∴y0＝kx0＋m＝－2k2m＋m＝m2－2k2m＝1m，∴P(－2km，1m)．又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2,2k＋m)，PF2→＝(1＋2km，－1m)，F2N→＝(1,2k＋m)．∴PF2→·F2N→＝(1＋2km，－1m)·(1,2k＋m)＝1＋2km－1m(2k＋m)＝1＋2km－2km－1＝0.∴PF2→⊥F2N→，∴以PN为直径的圆恒过点F2.4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为22，过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求OA→·OB→的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．(1)解由题意知b＝1，e＝ca＝22，得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)解设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ>0得0≤k2<12.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝10k2－21＋2k2＝5－71＋2k2.∵0≤k2<12，∴72<71＋2k2≤7，故所求范围是[－2，32)．(3)证明由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1)．令y＝0得：x＝x1－y1x1－x2y1＋y2＝x1y2＋x2y1y1＋y2＝2kx1x2－2kx1＋x2kx1＋x2－4＝2x1x2－2x1＋x2x1＋x2－4＝16k2－41＋2k2－16k21＋2k28k21＋2k2－4＝1，故直线AN恒过定点(1,0)．
