第十五讲巧解奇数与偶数问题巧点睛——方法与技巧奇数和偶数的运算性质（1）奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数。（2）奇数个奇数的和(或差)为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数。（3）奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=奇数。（4）若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数。（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1。巧指导——例题精讲A级基础点睛【例1】1+2+3+⋯+1993的和是奇数还是偶数？解法1此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判断和是奇数还是偶数，故此题可以有两种解法。因为1+2+3+⋯+1993=21993)19931(=997×1993又因为997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，所以原式的和是奇数。解法2因为1993÷2=996⋯⋯1，所以1~1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。因为996是偶数之和一定是偶数，又因为奇数个奇数之和是奇25数，即997个奇数之和是奇数，从而可知，原式的和是奇数。做一做11+2+3+4+⋯⋯+2001+2002的和是奇数还是偶数？【例2】能否在下式的□内填入“＋”或“－”号，使等式成立？为什么？1□2□3□4□5□6□7□8□9=40分析与解等号左边有5个奇数，因而不管在□中填“＋”或“－”号，等号左边的奇偶性不变，且一定是一个奇数，不可能与等号右边的偶数相等。故不能再式中的□里填入适当的“＋”或“－”号而使等式成立。做一做2能否在下面的□内填入加号或减号，使等式成立？为什么？1□2□3□4□5□6=10【例3】有一个正方体木块（如右图），每个面上各写了一个自然数，并且相对的两个面上的两个数之和相等。现在只能看见三个面上写的数，如果看不见的各面写的都是质数，那么这三个质数的和是多少？4解由奇偶分析得，25的对面是2，由此推断：410的对面是25+2－10=17；4的对面是25+2－4=23；三个质数之和是2+17+23=42。做一做3在等式A×(B＋C)=110+C中，A,B,C是三个互不相等的质数，那么A+B+C的值是多少？B级更上层楼【例4】在3，，,,7这三个数中任意去掉一个数并换成其余两数之和或差，照此操作下去，最后能否得到2008,2004,1997这三个数？分析与解3,5,7都是奇数，照题中的操作要求，第一次操作后，所得的三个数应是两个奇数，一个偶数。这时，不管我们如何让继续操作下去（如果去掉两奇一偶数，则补上的数仍为偶数；如果去掉两奇一偶中的一个奇数，则补上的数仍为奇数），这三个数都是两奇一偶，不可能为两偶一奇：2008,2004,1997。做一做4有一个游戏的规定为：在黑板上写三个自然数，然后随便擦去其中一个数，换上未擦去的两个数的和减1，这样做了多次之后，黑板上得到17,123,139这三个数。请问：黑板上开始写的三个数可能是2,2,2或3,3,3吗？【例5】是否有自然数a,b,c使下列3个等式a×(b×c－1)=2003⋯⋯①b×(a×c－1)=2005⋯⋯②c×(a×b－1)=2007⋯⋯③分析与解先假设存在有自然数a,b,c使①、②、③式同时成立，然后考察会出现什么情形。因为2003，,2005,2007都为奇数，所以它们的各个因数a,b,c,(b×c－1),(a×b－1)都为奇数。然而，当a,b,c,为奇数时，(b×c－1),(a×c－1),(a×b－1)又必为偶数，即说明a,b,c,(b×c－1),(a×c－1),(a×b－1)不可能都为奇数。这样一来，就出现互相矛盾的结果。这个矛盾生产的起因是“假设存在有自然数a,b,c使①、②、③式同时成立”，所以，这个假设是不成立的。因而，不存在自然数a,b,c使①、②、③式同时成立。小结反证法证题的格式如下：（1）先假设与题中要证明的结论相对立的结论成立；（2）在这个假设设备下，经过推演却得出了与已知条件或已知结论相矛盾的结果；（3）从而说明“假设”不成立，因而，假设的对立结论（即要证的结论）成立。做一做5说明不存在这样自然数a,b,c,d,使下面四个等式同时成立。abcd－a=2005abcd－c=2009abcd－b=2007abcd－d=2011【例6】2003名同学参加小学智力竞赛，共有25道竞赛题，答对一题得7分，不答得1分，答错一题倒扣1分。请说明所有参赛同学得分的总和一定是奇数。分析与解因全卷满分是25×7=175分（为奇数），某题未答比正确答出少7－1=6...
