第14讲巧解整除问题巧点睛——方法和技巧数的整除特征：（1）数特点被2整除个位是0，2，4，6，8中的某个数被4或25整除末两位数被4或25整除被8或125整除末三位数被8或125整除（2）一个整数各数位上数字的和能被3（或9）整除，那么这个整数也能被3（或9）整除。（3）能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位（指个位、百位、万位⋯⋯）上的数学之和与偶数位（指十位、千位、十万位⋯⋯）上的数学之和的差（用大数减减较小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来很大的方便，在实际问题中应用广泛。巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】在下面各题的内填上适当的数字，使得（1）2584，能被2整除，又能被3整除；（2）3604，能被3整除，又能被5整除；（3）278，能同时被2，3，5整除；（4）438，能同时被5，9整除。解（1）根据数的整除特征，内无论填什么数字，该数都能被2整除。要能被3整除，它和各位数字之和应是3的倍数。由于2+5+8++4=19+要使19+是3的倍数，填入内的数字可以是2，5，8。（1）要能被3又能被5整除，必须符合两个条件：第一，末位数字只能是5或0；第二，各位数字的和是3的倍数。由于3+6+0+4+5=183+6+0+4+0=1318是3的倍数，13不是3的倍数，所以内只能填5。（3）同时能被2，5整除，该数的末位数字只能是0；再由数字之和能被3整除，该数十位上的数字可以是1，4，7。（4）按以上同样道理，可分析出满足条件的有两个数438，438做一做1在下面各题的内填上适当的数字，使得（1）3247，能同时被2，3整除；（2）436，能同时被2，3，5整除。【例2】如果有一类六位数569能同时被2，4，5整除，那么这类数中最小的一个是多少？分析为了使这样的六位数最小，看百位上的数字能否为0，再考虑十位和个位上的数字满足条件而又达到最小。解设百位上的数字为0。由于该数能被4，5整除，所以个位上3770的数字只能为0。用字母a表示这类六位数的十位数字，则其数字和为5+6+9+0+a+0=20+a由于该六位数能被3整除，则（20+a）这个数应是3的倍数，即a可以是1，4，7。若a为1，而10不能被4整除。所以，这样的六位数最小的一个是569040。做一做2在358的后面添上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。那么，这样的六位数中最大的一个是多少？【例3】a89119b能被66整除，这个六位数是多少？分析因66=2×3×11，又因为2，3，11互质，由整除性质知，这个六位数能分别被2，3，11整除。由此确定该六位数中的a,b两个数字。解因该数能被2整除，所以b可以是0,2,4,6,8中的某一个数字。因a+8+9+1+9+b=27+a+b，所以（a+b）必是3的倍数。又因（a+9+9）-（8+1+b）=9+a-b，由于a≠0，有0＜9+a≤18，所以（9+a-b）只能是11，即a-b=2。分别取b为0，2，4，6，8进行试算，如取b=0，则由a-b=2，可知a=2，而a+b=2+0=2，不是3的倍数。经试算可知，n只能是2，所以这六位数是489192。做一做3在724左边添一个数a，右边添一个数字b，组成五位数a724b。如果这个五位数是12的位数，那么a×b的最大值是多少？B级更上层楼【例4】老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□13.7□元。回校后老师发现其中有两个数字已经看不清了，你能帮他补上这两个数字吗？（其中□为看不清的数字）分析与解首先将□13.7□元化为分，这样总钱数就是□137□分。由于每本书价格相同，所以72|□137□，而72=8×9，所以8和9都应整除□137□。由于8能整除□137□，所以8|37□。由此可知，只有当37□=376时，才有8|376□，故原数为□1376。又由于9能整除□1376，所以其各位数字之和□1+3+7+6必为9的倍数，即9|□1+7，而□只能是1到9中的某个数，所以□只能是1。答：原数是11376分，即113.76元。做一做4一位马虎的购物员买了72只桶，洗衣服时将发票洗烂了，只能依稀看到：72只桶，共□67.9□元（□内的数字看不清了）。请你帮他算一算，一共用了多少钱？【例5】在算式abcde1×3=1abcde中，不同的字母表示不同的数字，相同的字母表示相同的数字。求abcde分析abcde+100000=abcde1，而1abcde=abcde×10＋1。于是可以把abcde看做一个整体，用...
