第16讲巧解质数与合数问题巧点睛——方法和技巧（1）巧记100以内的质数：2,3,5,7,又11；13和17；19,23,29；31和37；41，43，47；53,59,61；67和71；73.79.83；89.和97。（2）“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数。（3）“1”这个数既不是质数也不是合数。巧指导——例题精讲A级基础点睛【例1】两个质数的和是39，求这两个质数的积是多少？分析与解两个数的和39，说明这两个数必定是一奇一偶。又知两个数都是质数，质数中只有2是偶数，因此，另一个数一定第37。因2+37+39，而2×37=74，所以这两个质数的积是74。做一做1两个质数的和是99，求这两个质数的积是多少？【例2】九个连续的自然数，它们都大于100，那么其中质数最多有多少个？分析与解我们用不同的条件做筛子，逐步加强条件的限制，使其结果明显变化。由于大于2的质数一定是奇数，而大于100的九个连续自然数至多只有5个是奇数，所以，质数的个数不大于5个。我们知道：在3个连续的奇数中至少有一个数是3的倍数，所以这5个连续奇数中至少有一个是合数。因此，质数最多只有4个。例如，在101至109的9个数中，质数有101，103,107,109。答：质数最多有4个。做一做2在20个连续自然数中最多有几个质数？最少有几个质数？【例3】用0,1,2,4中的3个数能组成哪些三位质数？分析与解用,1,2,4中的三个数组成的三位数中，个位上是0,2,4的不可能是质数，只有个位上是1的数才可能是质数。个位上是1的三位数有：201,241,401,421。这四个数中，只有241,401,421,是质数。这三个数即为所求。做一做3用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数组成一些质数，如果每个数字都要用到并且只用到1次，那么，这9个数字最多能组成多少个质数？B级更上层楼【例4】一个长方体的上面和正面的面积之和是77平方厘米，它的长、宽、高都是整数厘米，且为质数。问：这个长方体的体积是多少？分析与解设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则由题意有a×b+a×c=77,即a×(b+c)=7×11因为a,b,c都是质数，只有将7×11分成（2+5）×11，即有a×(b+c)=11×(5+2)或11×（2+5）所以只有a=11,b=5,c=2或a=11,b=2,c=5。故此长方体的体积是11×5×2=110（厘米3）答：这个长方体的体积是110立方厘米。做一做4求质数a,b,c，使得abc÷（a+b+C）=5。【例5】把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，分析与解首先假设可以分成五个质数之和（分成6个或6个以上质数之和不可能）。33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数）。取最小五个连续奇质数3,5,7,11,13，它们的和是39，超过33，所以，分成五个是不可能的。假设33可以分成四个质数之和。33是奇数，因此四个数中一定有一个偶数2，即其余三个的和是31。显然可以找出其余三个分别是：3,5,23；3,11,17；7,11,13；5,7,19。在这些数中乘积最大的是7×11×13=1001。假设33可以分成三个质数之和，只可能是3,1,17；3,11,19；3,7,23；5,11,17。乘积均小于2×7×11×13。33若分成两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。故将33写成四个质数2,7,11和13的和时，它们的积最大。做一做5把41拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的积中那个最小？【例6】试找出10个连续自然数，且它们都是合数。解设a=27720，它是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11的倍数，于是a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，a+8，a+9，a+10,a+11都是合数，即为所求。本题方法很多，请你想一些其他解法。做一做6把1至8这8个自然数填入右图大圆上的小圆圈内，使任意相邻两圆圈内数的和都是质数（绕大圆圆心旋转而变成相同的填法算一种填法）。C级勇夺冠军【例7】27名小运动员所穿运动服的号码恰是1,2,3，⋯26,27这27个自然数，问这些小运动员能否站成一个圆圈，使任意两个相邻运动员号码之和都是质数？说明理由。分析这类问题，如果答“有”，就必须给出一个站法来；而如果答“没有”，就必须讲明理由。本题还是要抓住的性质来研究。解法1因为质数除了2以外都是奇数，但此27个数中任意两个的和都不可能等于2，所以如果能站站成一个圆圈的话，所得27个数均应为奇质数。解法2同上理由，27个质数均为奇数，故它...
