9.3 线面垂直、三垂线定理VIP免费

9．3线面垂直、三垂线定理一、明确复习目标1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形规范表述.2．掌握三垂线定理及其逆定理新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆3．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力.4．会求斜线与平面所成的角.二．建构知识网络1．直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a⊥α2．直线与平面垂直的判定方法：（1）判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则则线垂直；（2）依定义，一般要用反证法；（3）和直线的垂面平行的平面垂直于直线；（4）面面垂直的性质.3．直线和平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.4．点到平面的距离、直线和平面的距离以及面面距离的求法：找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求，5．斜线、射影、直线和平面所成的角：定义——性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中（1）垂线段最短；（2）斜线段相等<=>射影相等；(3)斜线段较长（短）<=>射影较长（短）.6．三垂线定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。三垂线定理的逆定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直奎屯王新敞新疆用途：判定线线垂直=>线面垂直，二面角的平面角.三、双双基题目练练手1.已知a，b，c是直线，，是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面的是（）A.a⊥c,a⊥b，其中b,cB.a⊥b,b∥C.⊥，a∥D.a∥b,b⊥2.如果直线l⊥平面，①若直线m⊥l,则m∥；②若m⊥,则m∥l；③若m∥,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥,上述判断正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.②④3.直角△ABC的斜边BC在平面内，顶点A在平面外，则△ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形4.已知P为Rt△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，则直线PD与平面ABC.（）A．垂直B.斜交C.成600角D.与两直角边长有关5．直线a,b,c是两两互相垂直的异面直线，直线d是b和c的公垂线，则d和a的位置关系是______________.6．（2006浙江）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是______.◆答案提示：1-3.DBDA;5.a∥d;6..CD⊥平面α时射影面积最小；CD//α时射影面积最大.四、经典例题做一做【例1】AD为△ABC中BC边上的高，在AD上取一点E，使AE=DE，过E点作直线MN∥BC，交AB于M，交AC于N，现将△AMN沿MN折起，这时A点到A点的位置，且AED=60，求证：AE⊥平面ABC.【例2】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平ABCDMNAE面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：（1）BC⊥平面PAB；（2）AE⊥平面PBC；（3）PC⊥平面AEF.证明：（1）PA⊥平面ABCPA⊥BCAB⊥BCPA∩AB=A（2）AE平面PAB，由（1）知AE⊥BCAE⊥PBPB∩BC=B（3）PC平面PBC，由（2）知PC⊥AEPC⊥AFAE∩AF=A【例3】如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,AC=1,CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M，求证：CD平面BDMMDA1C1B1CBA证明：在直三棱柱中，又∴平面， ，∴，∴，BC⊥平面PAB.AE⊥平面PBC.ABCPEFPC⊥平面AEF.连结，则上的射影,也是CD的射影在中，在中，，∴,∴，∴，∴平面.◆总结提练：证线面垂直,要注意线线垂直与线面垂直关系与它之间的相互转化证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂线定理或通过线面垂直.【例4】（2006浙江）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.解：（I） 是的中点，，∴. 平面，∴，从而平面. 平面，∴.（II）取的中点，连结、，则，∴与平面所成的角和与面所成的角相等. 平面，∴NG是BG在面ADMN内的射影,是与平面所成的角.在中，.故与平面所成的角是.五．提炼...