向量在代数解题中的应用宜昌市十三中马小平刘姣蓉教材中《平面向量》、《空间向量》的知识在几何中的应用相当广泛。说起向量学生就不由自主的想到其在立几中的应用，其实向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，这就使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型。向量法解题,可激发学生学习兴趣,拓宽学生的思维,培养学生的创新意识和能力。下面就介绍这方面的应用。一、在代数求值中的应用例1设a，b，c，x，y，z均为实数，且，，，求的值。解：由题设条件，设=(6a,6b),,由得：，即，变形整理得：。同理,。所以=二、在解方程中的应用例2．解方程解：设由于，，得即有①代入原方程有，将代入方程组①可求得原方程的唯一一个根为：x=1三、在证明恒等式中的应用例3已知a、b，且，求证：。分析：题设与结论都与1有关，由题设联想到向量证明：构造向量，因为，所以又由条件知，，所以，即,所以四、在证明不等式中的应用例4.已知a，b，c，且，求证。解：构造向量所以,由向量不等式得:6=即五、在函数最值中的应用例5.求函数的最大值。解：构造向量由得当且仅当，即时，例6．求函数的最大值。解：令，则故当且仅当与b同方向，即时取等号，解得x=。所以当时，取得最大值12。例7.求函数的最小值。解：构造向量)3,3(),2,(xxba由得：当且仅当a与b同向平行时等式成立所以（此时）六、在三角中的应用例8.求函数的最值。解：原式可化为:,令构造向量则即所以七、在数列中的应用例9．给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。解：由题意知==令，则，因为，所以，所以。当且仅当同向，且时，等号成立。由，解得故当时，S取得最大值。
