（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 高考专题突破四 高考中的立体几何问题教案（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

高考专题突破四高考中的立体几何问题题型一平行、垂直关系的证明例1(2018·南京、盐城、连云港模拟)如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．(1)求证：MN∥平面BEC；(2)求证：AH⊥CE.证明(1)方法一取CE的中点F，连结FB，MF.因为M为DE的中点，F为CE的中点，所以MF∥CD且MF＝CD.又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BN∥CD且BN＝CD，所以MF∥BN且MF＝BN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MN∥BF.又MN⊄平面BEC，BF⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.方法二取AE的中点G，连结MG，GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG∥AD.又因为在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC.又因为MG⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以MG∥平面BEC.因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE.又因为GN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以GN∥平面BEC.又因为MG∩GN＝G，MG，GN⊂平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC.又因为MN⊂平面GMN，所以MN∥平面BEC.(2)因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊂平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE.因为AH⊂平面ABE，所以BC⊥AH.因为AB＝AE，H为BE的中点，所以BE⊥AH.因为BC∩BE＝B，BC⊂平面BEC，BE⊂平面BEC，所以AH⊥平面BEC.又因为CE⊂平面BEC，所以AH⊥CE.思维升华(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．跟踪训练1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1，取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二如图2，取AC的中点H，连结C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1∥AH，且EC1＝AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.题型二立体几何中的计算问题命题点1求线线角和线面角例2如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1)求异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．解(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图，则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，AC1＝(－3,3,3)，B(3,3,0)，E(3,0,2)，BE＝(0，－3,2)．所以cos〈AC1，BE〉＝＝＝－，故异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(2)B1(3,3,3)，BB1＝(0,0,3)，D1E＝(3,0，－1)．设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得所以则n＝(x,2x,3x)，不妨取n＝(1,2,3)．设直线BB1与平面BED1F所成的角为α，则sinα＝|cos〈BB1，n〉|＝＝＝.故直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.思维升华(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(2)若直线l与平面α...