第六节二次函数教材面面观1．二次函数的解析式(1)一般式：________，函数图象的对称轴是直线________，顶点坐标是________；(2)顶点式：________，顶点坐标是________；(3)双根式：________，x1，x2为方程________的两实根，函数图象的对称轴是直线________．答案y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x＝－(－，－)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)ax2＋bx＋c＝0x＝2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调区间是________和________；图象特点：设Δ＝b2－4ac，(1)a＞0时，开口向上，Δ≥0时，与x轴交点的横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，y＞0恒成立．(2)a＜0时，开口向下，Δ≥0时，与x轴交点的横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，y＜0恒成立．答案(－∞，－][－，＋∞)3．二次函数在闭区间上的最值问题是非常重要的题型，一般结合图象求解：当a＞0，f(x)在区间[p，q]上的最大值为M，最小值为m，令x0＝(p＋q)．若－＜p，则f(x)在区间[p，q]上单调递增，所以m＝________，M＝________；若p≤－＜x0，则对称轴靠近区间左侧，所以m＝________，M＝________；若x0≤－＜q，则对称轴靠近区间右侧，所以m＝________，M＝________；若－≥q，则f(x)在区间[p，q]上单调递减，所以m＝________，M＝________.答案f(p)f(q)f(－)f(q)f(－)f(p)f(q)f(p)考点串串讲1．二次函数的基本知识(1)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．求二次函数解析式的方法：待定系数法．根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或双根式中的一种来求．(ⅰ)已知三个点坐标时，宜用一般式；(ⅱ)已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式；(ⅲ)若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式求f(x)更方便．(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是(－，)．①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－]上递减，在[－，＋∞)上递增；当x＝－时，[f(x)]min＝.②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－]上递增，在[－，＋∞)上递减；当x＝－时，[f(x)]max＝.(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点用心爱心专心1M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.2．二次函数在闭区间上的最值(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n]上的最值问题．一般情况下，需要分－＜m，m≤－≤n和－＞n三种情况讨论解决．(2)对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论；①若k∈[m，n]，则ymin＝f(k)＝h，ymax＝max{f(m)，f(n)}；②若k∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，ymax＝max{f(m)，f(n)}，(a＜0时可仿此讨论)．(3)一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应用单调性求最值．3．一元二次方程实数根的分布(见下表)设ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，令f(x)＝ax2＋bx＋c.根的分布状况图象充要条件1.有两个不等实根Δ＞02.两个相等实根Δ＝03.两个正根⇔4.两个负根⇔用心爱心专心25.一正一负根⇔6.恰有一根为零7.在开区间(m，n)内有两个实根8.在开区间(m，n)内恰有一个实根f(m)f(n)＜0或9.在闭区间[m，n]内有两个实根10.在闭区间[m，n]内恰有一个实根f(m)f(n)＜0或或或11.没有实数根Δ＜04.解题中要注意掌握二次不等式的转化策略：①二次不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≤0的解集是(－∞，α]∪[β，＋∞)⇔a＜0且f(α)＝f(β)＝0.②当a＞0时，f(α)＜f(β)⇔|α＋|＜|β＋|；当a＜0时，f(α)＜f(β)⇔|α＋|＞|β＋|.(|α＋|，|β＋|表示横坐标为α，β的点到对称轴x＝－的距离，距离的远近决定对应函数值的大小)③当a＞0时，二次不等式f(x)＞0在[p，q]上恒成立⇔或或④f(x)＞0恒成立⇔或f(x)＜0恒成立⇔或典例对对碰题型一求二次函数解析式例1已知：二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．解析解法一：利用...
