第6讲双曲线[考纲解读]1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.对应学生用书P1491．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做□双曲线．这两个定点叫做双曲线的□焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的□焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当□a
c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)已知双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案A解析双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，∴2c＝4，解得c＝2；∴c2＝a2＋1＝4，∴a＝；∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x.故选A.(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案17解析由题意知|PF1|＝90)的离心率为，则a＝________.答案4解析由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.题型双曲线的定义及应用1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12答案B解析由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴|PF|＋|PA|的最小值为9.故选B.2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.答案解析 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝.条件探究举例说明2中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.(1)应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系．1．F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|＝8，则△PF1F2的周长为()A．15B．16C．17D．18答案D解析由已知得a＝3，...
