高考数学 第二节 两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材VIP免费

第二节两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材面面观1．两角和与差的正余弦公式：cos(α＋β)＝________；cos(α－β)＝________；sin(α＋β)＝________；sin(α－β)＝________.答案cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ2．两角和与差的正切公式：tan(α＋β)＝________；tan(α－β)＝________(α、β≠kπ＋，α－β≠kπ＋，k∈Z)．答案3．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝________，sinφ＝________，tanφ＝________.φ的终边所在象限由________来确定，角φ称为辅助角．答案a、b的符号考点串串讲1．两角和与差的三角公式需理解(1)理解运用公式时应注意的几个问题①诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况，α、β中有为的整数倍时，使用诱导公式更灵活、简便．②要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义一般情况下，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ.只有在特殊情况下，才有可能sinα＋sinβ＝sin(α＋β)．③对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析，便于理解、记忆和应用．(ⅰ)明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号．(ⅱ)要牢记公式，并能熟练地进行左右两边的互相转化．(2)常见的角的代换有：α＝(α＋β)－βα＝β－(β－α)α＝[(α＋β)＋(α－β)]α＝[(β＋α)－(β－α)]角的代换实质是根据题意的需要把角看活，要在活字上作文章．(3)公式的逆向变换、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本功．如两角和的正切公式tan(α＋β)＝，就必须掌握如下的一些变换：＝tan(α＋β)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)－tanα－tanβ(4)引入辅助角的变换形如asinx＋bcosx(a、b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．这里A用心爱心专心1＝，sinφ＝，cosφ＝，φ的终边所在象限由a和b确定．2．二倍角的正弦、余弦、正切(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2αtan2α＝公式的推导：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令α＝β即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式．从推导中可发现，二倍角公式是和角公式的特殊情况．(2)应注意的地方①对于“二倍角”的理解，不单纯是α与2α的关系，而应有更广泛的理解．如4α是2α的二倍角；3α是的二倍角；α是的二倍角；是的二倍角等等．②当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα的值不存在，这时求tan2α的值可利用诱导公式．即tan2α＝tan2(kπ＋)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0.③公式的逆向变换与有关变形1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2a1＋cosα＝2cos2b1－cosα＝2sin2ccos2α＝(1＋cos2α)dsin2α＝(1－cos2α)e上述公式中，b、c又称为升幂公式，d、e又称为降幂公式．(3)知识的延伸及扩展①三倍角公式sin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα②半角公式sin＝±cos＝±tan＝±＝＝③万能公式sinα＝cosα＝tanα＝④和差化积公式sinα＋sinβ＝2sincossinα－sinβ＝2cossincosα＋cosβ＝2coscoscosα－cosβ＝－2sinsin⑤积化和差公式sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]3．三角函数的求值、化简和证明(1)三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角用心爱心专心2①给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异．一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从...