第二节两角和与差的三角函数与简单的三角恒等变换教材面面观1.两角和与差的正余弦公式:cos(α+β)=________;cos(α-β)=________;sin(α+β)=________;sin(α-β)=________.答案cosαcosβ-sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ2.两角和与差的正切公式:tan(α+β)=________;tan(α-β)=________(α、β≠kπ+,α-β≠kπ+,k∈Z).答案3.辅助角公式asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=________,sinφ=________,tanφ=________.φ的终边所在象限由________来确定,角φ称为辅助角.答案a、b的符号考点串串讲1.两角和与差的三角公式需理解(1)理解运用公式时应注意的几个问题①诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特殊情况,α、β中有为的整数倍时,使用诱导公式更灵活、简便.②要真正明确两角和与两角差的三角函数的意义一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ.只有在特殊情况下,才有可能sinα+sinβ=sin(α+β).③对于两角和与差公式的异同要进行对比与分析,便于理解、记忆和应用.(ⅰ)明确角、函数和排列顺序以及式中每一项的符号.(ⅱ)要牢记公式,并能熟练地进行左右两边的互相转化.(2)常见的角的代换有:α=(α+β)-βα=β-(β-α)α=[(α+β)+(α-β)]α=[(β+α)-(β-α)]角的代换实质是根据题意的需要把角看活,要在活字上作文章.(3)公式的逆向变换、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换,这是灵活使用公式所必须的,尤其是三角公式众多,把这些公式用活显得更加重要,这是学好三角函数的基本功.如两角和的正切公式tan(α+β)=,就必须掌握如下的一些变换:=tan(α+β)1-tanαtanβ=tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα·tanβ·tan(α+β)=tan(α+β)-tanα-tanβ(4)引入辅助角的变换形如asinx+bcosx(a、b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.这里A用心爱心专心1=,sinφ=,cosφ=,φ的终边所在象限由a和b确定.2.二倍角的正弦、余弦、正切(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2αtan2α=公式的推导:在两角和的正弦、余弦、正切公式中,令α=β即可推得倍角的正弦、余弦、正切公式.从推导中可发现,二倍角公式是和角公式的特殊情况.(2)应注意的地方①对于“二倍角”的理解,不单纯是α与2α的关系,而应有更广泛的理解.如4α是2α的二倍角;3α是的二倍角;α是的二倍角;是的二倍角等等.②当α=kπ+(k∈Z)时,tanα的值不存在,这时求tan2α的值可利用诱导公式.即tan2α=tan2(kπ+)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.③公式的逆向变换与有关变形1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2a1+cosα=2cos2b1-cosα=2sin2ccos2α=(1+cos2α)dsin2α=(1-cos2α)e上述公式中,b、c又称为升幂公式,d、e又称为降幂公式.(3)知识的延伸及扩展①三倍角公式sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=4cos3α-3cosα②半角公式sin=±cos=±tan=±==③万能公式sinα=cosα=tanα=④和差化积公式sinα+sinβ=2sincossinα-sinβ=2cossincosα+cosβ=2coscoscosα-cosβ=-2sinsin⑤积化和差公式sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]3.三角函数的求值、化简和证明(1)三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值、给值求值、给值求角用心爱心专心2①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从...