高三数学 名校尖子生培优大专题 数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨教案 新人教A版-新人教A版高三全册数学教案VIP免费

数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。一般地，在高中数学中证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：一、反证法的应用：典型例题：例1：（对于数集12{1,,,}X,nxxx，其中nxxx210，2n，定义向量集{|(,),Y}X,Xaastst.若对于任意1Ya�，存在2Ya�，使得120aa�，则称X具有性质P.例如{1,2}X1,具有性质P.（1）若x＞2，且},2,1,1{x，求x的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且x1=1，2xq（q为常数），求有穷数列nxxx,,,21的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取1(,2)ax�，则Y中与1a�垂直的元素必有形式),1(b。∴=2xb，从而x=4。（2）证明：取111Y(,)axx�，设2(,Y)ast�满足120aa�。1由0)(1xts得0ts，∴s、t异号。 －1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为－1，另一为1。故1X。假设1kx，其中nk1，则nxx101。选取11Y(,)naxx�，并设2(,Y)ast�满足120aa�，即01ntxsx。则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为－1。若s=－1，则11xttxxn，矛盾；若t=－1，则nnxssxx1，矛盾.∴1x=1。（3）猜测1iiqx，i=1,2,…,n。记2{1,1,,}A,kkxx，k=2,3,…,n。先证明：若1Ak具有性质P，则Ak也具有性质P。任取1(,)ast�，s、tAk.当s、t中出现－1时，显然有2a�满足120aa�。当1s且1t时，s、t≥1。 1Ak具有性质P，∴有211(,)ast�，1s、1t1Ak，使得120aa�。从而1s和1t中有一个是－1，不妨设1s=－1，假设1t1Ak且1tAk，则11kxt。由0),1(),(1kxts，得11kkxtxs，与sAk矛盾。∴1tAk，从而Ak也具有性质P。现用数学归纳法证明：1iiqx，i=1,2,…,n。当n=2时，结论显然成立。2假设nk时，2{1,1,,}A,kkxx有性质P，则1iiqx，i=1,2,…,k；则当+1nk时，若121{1,1,,,,}Akkkxxx有性质P，则2{1,1,,}A,kkxx也有性质P，所以111{1,1,,,,}Akkkqqx。取11(,)kaxq�，并设2(,)ast�满足120aa�，即01qtsxk。由此可得s与t中有且只有一个为－1。若1t，则1s，所以1kqxqs，这不可能；∴1s，kkkqqqqtx11，又11kkqx，所以kkqx1。综上所述，1iiqx1iiqx，i=1,2,…,n。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。（3）根据题设，先用反证法证明：若1Ak具有性质P，则Ak也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测1iiqx，i=1,2,…,n。例2：设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有...