三角函数应用的几种形式江苏省金湖县教师进修学校（211600）徐加生关于三角函数的应用问题是近年高考中关于三角知识的亮点题型，尤其对函数y=Asin(ωx+φ)+b的考查更有特色，必须引起重视，下面就与此相关问题举例分析，供参考。一、解析函数对已经给出的函数关系进行分析，并解决相关问题例1．已知电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)的变化的函数关系是I=5sin(100πt+)，t∈[0,+∞)。(1)求电流强度I的变化周期、频率、振幅和初相；(2)当t=，，，（单位：s）时，求对应的电流强度。简解：(1)由ω=100π可得周期为T=，频率为f==50，振幅为5，初相为。(2)当t=时，I=5；t=时，I=0；t=时，I=－5；t=时，I=0。点评：本题主要考查对函数式中相关参数的意义的理解和把握，是简单应用问题。例2．单摆从某一点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为S=6sin(2)。(1)单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆来回摆动一次需要多少秒？解析：(1)当t=0时，S=6sin=3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm；(2)S=6sin(2)，振幅为6，即摆动到最右边，离开平衡位置6cm；(3)S=6sin(2)的周期为T=1，即来回摆动一次需要1s。点评：本题已给出了单摆离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系，解题的关键是理解周期T和振幅A在单摆问题中的实际意义。二、求出函数根据题目的提示，通过设函数式，求出相关参数，解决对应问题例3．某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化。求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）并估计9月1日左右的种群数量。解析：设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+b，由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，数量变化周期为12个月，所以振幅A==100，ω=，b=800，又7月1日为种群数量达最高，∴×6+φ=，∴φ=－，则种群数量关于时间t的函数表达式为y=800+100sin(t－3).又当t=9时，可得y=800，即9月1日左右的种群数量约为800。点评：此类问题比较多见，从所给问题中分析出相关的参数是解题的关键。例4．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大，并说明理由。简解：由条件可得，出厂价格函数为y=2sin(x－)+6，销售价格函数为y=2sin(x－)+8，则利润函数y=m(y－y)=m[2sin(x－)+8－2sin(x－)－4]=m(2－2sinx)，所以，当x=6时，y=(2+2)m，即6月份盈利最大。点评：这是经济学中的销售利润问题，此题中是两个正弦曲线的迭加，而抓住已知条件分别建立出厂价格函数和销售价格函数是解题的重要步骤。三、构造函数有些实际问题中隐含着函数关系，如风车转动等，通过类比、构造解题例5．如下图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题。(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)写出这个简谐运动的函数表达式。解析：(1)根据课本知识可以知道，简谐运动的图象是正弦曲线，从图象上可以看出，这个简谐振动的振幅为2cm，周期为0.8s，频率为。(2)如果从O点算起，到曲线的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动。(3)设这个简谐振动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)，那么A=2，由=0.8得ω=，由图象知初相φ=0，于是表达式为y=2sinx，x∈[0,+∞)点评：根据简谐运动的图象是正弦曲线这个知识，去阅读和理解所给的函数图象，一切问题就变得清晰起来，解题就是水到渠成。例6．一个半径为2m的风车如图所示，风车圆心O距地面为4m，已知风车每分钟转6圈，如果当风车上点P距地面最高时开始计时。(1)将点P距地面的高度h(m)表示时间t(s)的函数；(2)点P第...
