高三数学名校尖子生培优专题系列填空题训练4待定系数法教案新人教A版四、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数。对于待定系数法方法的使用，笔者将另文详细解析。典型例题：例1：）已知na为等差数列，nS为其前n项和。若11a=2，23Sa，则2a=▲；nS=▲【答案】1；211nn44。【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为d，根据等差数列通项公式和已知11a=2，23Sa得22221a=1a=d211d=a=ad22。∴112naan1d11S=n=nn244。例2：.已知递增的等差数列na满足11a，2324aa，则na▲。【答案】21n-。【考点】等差数列。【解析】设递增的等差数列na的公差为d（0d>），由2324aa得212(1)4dd+=+-，解得2d=±，舍去负值，2d=。∴21nan=-。例3：设公比为(0)qq的等比数列na的前n项和为nS．若2232Sa，4432Sa，则q▲．【答案】32。【考点】等比数列的性质，待定系数法。1【解析】用待定系数法将2232Sa，4432Sa两个式子全部转化成用1a，q表示的式子：111233111113232aaqaqaaqaqaqaq，两式作差得：2321113(1)aqaqaqq，即：2230qq，解之得：32q或1q(舍去)。例4：已知等比数列｛an｝为递增数列，且251021,2()5nnnaaaaa，则数列｛an｝的通项公式an=▲。【答案】2n。【考点】等比数列的通项公式。【解析】设等比数列｛an｝的公比为q。∵2510aa，∴42911()aqaq。∴1aq，nnaq。又∵212()5nnnaaa，∴22(1)5nnaqaq。∴22(1)5qq。解得2q或12q。又∵等比数列｛an｝为递增数列，∴舍去12q。∴2nna。例5：已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为▲．【答案】24。【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。【解析】∵△ABC的三边长成公比为的等比数列，∴设三角形的三边分别是：a、a、a。∵最大角所对的边是a，∴根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：2222+222cos==4222aaaaa。∴最大角的余弦值为24。例6：如图，已知AB和AC是圆的两条弦。过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的2平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，=3AF，=1FB，3=2EF，则线段CD的长为▲.【答案】43。【考点】直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质。【分析】∵=3AF，=1FB，3=2EF，由相交弦定理得=AFFBEFFC，∴=2FC。又∵BD∥CE，∴=AFFCABBD，4==23ABBDFCAF=83。设=CDx，则=4ADx，再由切割线定理得2=BDCDAD，即284=()3xx，解得4=3x，故4=3CD。例7：过抛物线22yx的焦点F作直线交抛物线于,AB两点，若25,,12ABAFBF则AF=▲.【答案】56。【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质，方程思想的应用。【分析】设直线的方程为)21(xky（由题意知直线的斜率存在且不为0），代入抛物线方程，整理得04)2(2222kxkxk。设1122(,),(,)AxyBxy，则12221xxk。又∵2512AB，∴1225112xx。∴122132112xxk，解得224k。代入04)2(2222kxkxk得1214,33xx。∵||||AFBF，∴13x。∴5||6AF。3例8：下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽▲米.【答案】26。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为2xmy=，∴∵当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，∴抛物线过点（2，－2，）.代入2xmy=得，()222m=-，即2m=-。∴抛物线方程为22xy=-。∴当3y=-时，6x=±，∴水位下降1米后，水面宽26米。4
