福建省长泰一中高考数学一轮复习《两个平面垂直》学案例1如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．求证：平面ABC⊥平面BSC．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．⑴求证：AB⊥BC；⑵若设二面角S－BC－A为45°，SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．证明：(1)作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC∴AH⊥BC，又SA⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AB用心爱心专心CASDB1基础过关ASBC∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD．∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．（2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵EF面PED，∴AB⊥EF．∴∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1∴cos∠PEF＝即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．⑴求证：AF∥平面PEC；⑵求证：平面PEC⊥平面PCD；⑶设AD＝2，CD＝2，求点A到面PEC的距离．证明：(1)取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC(2)可证EG⊥平面PCD(3)点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．⑴证明：AB⊥平面VAD；⑵求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．（1）证明：平面VAD⊥平面ABCDAB⊥ADAB⊥平面VADAB平面ABCD用心爱心专心2CBDFPAECBAVDAD＝平面VAD∩平面ABCD（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE．∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD．∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE．又由三垂线定理知BE⊥VD．于是tan∠AEB＝＝,即得所求二面角的大小为arctan例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.⑴求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；⑵求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3)求点C1到平面A1CB的距离．证(1)因为四边形BCC1B1是矩形，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1．（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC，∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D．∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，在矩形BCC1B1中，DC＝，因为四边形A1ABB1是菱形．∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴A1D＝2∴tan∠A1CD＝．（3）∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC．∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B．∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即为C1到平面A1BC的距离．∵B1O＝2∴C1到平面A1BC的距离为2．变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．⑴若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；⑵求证AD⊥PB；⑶求二面角A－BC－P的大小；⑷若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．答案(1)略(2)略(3)45°(4)F为PC的中点在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后用心爱心专心3BCAA1B1C1ACBPGD小结归纳再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．用心爱心专心4
