高考数学 第一节 导数的概念及其运算教材VIP专享VIP免费

第一节导数的概念及其运算教材面面观1．导数的概念(1)如果当Δx0时，________，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝__________________.(2)如果函数f(x)在开区间(a，b)内________，就说f(x)在开区间(a，b)内可导．这时对于开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着________，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)，即f′(x)＝________，导函数也简称导数．答案有极限lim＝lim每一点都可导一个确定的导数f′(x0)lim2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率3．几种常见的导数C′＝________；(xn)′＝________；(sinx)′＝________；(cosx)′＝________；(ex)′＝________；(ax)′＝________；(lnx)′＝________；(logax)′＝________.答案0(C为常数)nxn－1cosx－sinxexaxlnalogae4．导数的四则运算法则设u、v是可导函数，则(u±v)′＝________；(uv)′＝________；()′＝________(v≠0)．答案u′±v′u′v＋uv′考点串串讲1．函数y＝f(x)在点x0处的导数函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．即：＝，如果Δx0时，有极限，则称函数在点x0处可导，且把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)．记作：f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0limx＝0limx.注意(1)增量Δx不同于增加量，Δx可正可负，自变量x在x0处有增量，其实质是保证f(x)在x0处“附近”有定义．(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数是一个确定的值，而不是含有自变量x的函数表达式．2．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的导函数(导数)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都可导，则称以(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数f′(x)为函数值的函数为f(x)在(a，b)内的导函数，简称为f(x)在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′.即f′(x)＝y′＝0limx.用心爱心专心1注意①函数在点x0处可导，是指Δx→0时，有极限，若极限不存在，就称函数在x0处不可导，或称在x0处无导数，因此，并不是所有函数在x0处都有导数，也并不是所有函数在给定开区间内都存在导数．②函数y＝f(x)的定义域一般都指开区间，因为在其端点处不一定有增量，即右端点无增量，左端点无减量．③函数f(x)在x0处的导数是一个确定的数值，而f(x)在(a，b)内的导数则是一个以x为自变量的函数，这是一个变量，实质上f′(x0)就是f′(x)在x0处的函数值．3．导数的几何意义与物理意义①设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0，y0)处的切线斜率．过点M的切线方程为：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的瞬时速度．③设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的加速度．4．求导数的方法由导数的定义可知，求函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)可以分三步：(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：＝－；(3)取极限得导数f′(x0)＝limxa＝limxa.求f(x)的导函数f′(x)的方法类似．5．导数的运算(1)几种常见函数的导数公式1C′＝0(C为常数)；公式2(xn)′＝nxn－1(n∈Q)；公式3(sinx)′＝cosx；公式4(cosx)′＝－sinx.(2)对数函数与指数函数的导数①(lnx)′＝；②(logax)′＝logae；③(ex)′＝ex；④(ax)′＝axlna.(3)函数的和、差、积、商的导数①(u±v)′＝u′±v′；②(uv)′＝u′v＋uv′；③()′＝(v≠0)．6．复合函数的求导一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝y′u·u′x或写作f′x(φ(x))＝f′(u)·φ′(x)．复合函数求导数的步骤(1)计算f′u(u)的表达式，并表示...