高三数学 名校尖子生培优大专题 数学解题方法之换元法探讨教案 新人教A版-新人教A版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第11讲：数学解题方法之换元法探讨3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化，把非标准型问题标准化等。通过换元，可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，化代数式为三角式等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元，三角换元，均值换元。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨换元法的应用：（1）局部换元法的应用；（2）三角换元法的应用；（3）均值换元法的应用。一、局部换元法的应用：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。典型例题：例1.方程14230xx的解是▲【答案】3log2。【考点】解指数方程。【解析】方程03241xx，化简为0322)2(2xx。令20xtt，则原方程可化为0322tt，解得3t或1t（舍去）。∴3log,322xx。∴原方程的解为3log2。【点评】通过设20xtt，将原方程变为熟悉的一元二次方程和指数方程的问题。例2.已知函数1()ln(1)fxxx；则()yfx的图像大致为【】1()A()B()C()D【答案】B。【考点】导数的应用。【解析】设()ln(1)gxxx，则()1xgxx。 ()0gx时，10x；()0gx时，0x，∴()(0)0gxg。∴0x或10x均有()0fx。因此排除,,ACD。故选B。【点评】通过设()ln(1)gxxx，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性，从而作出正确的判断。例3.设1()(0)xxfxaebaae（I）求()fx在[0,)上的最小值；（II）设曲线()yfx在点(2,(2))f的切线方程为32yx；求,ab的值。【答案】解：（I）设(1)xtet，则1yatbat。∴222211atyaatat。①当1a时，0y。∴1yatbat在1t上是增函数。2∴当1(0)tx时，()fx的最小值为1aba。②当01a时，12yatbbat∴当且仅当11(,ln)xattexaa时，()fx的最小值为2b。（II） 1()xxfxaebae，∴1()xxfxaeae。由题意得：(2)33(2)2ff，即222213132aebaeaeae，解得2212aeb。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（I）根据导数的的性质分1a和01a求解。（II）根据切线的几何意义列方程组求解。【点评】通过设(1)xtet，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性。例4.数列na满足nn1na(1)a2n1＋－＝－，则na的前60项和为【】（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出na的通项：由nn1na(1)a2n1＋－＝－得，当n=1时，21a1a；当n=2时，321a3a=2a；当n=3时，431a5a=7a；当n=4时，541a7a=a；当n=5时，651a9a=9a；当n=6时，761a11a=2a；当n=7时，761a13a=15a；当n=8时，871a15a=a；······当n=4m+1时，4m21a8m1a；当n=4m+2时，4m21a2a；当n=4m+3时，4m41a8m7a；当n=4m+4时，4m51aa（m=0,1,2，）。 4m4m51aaa，3∴n{a}的四项之和为4m14m24m34m41111aaaa=a8m1a2a8m7a=16m10（m=0,1,2，）。设m4m14m24m34m4baaaa=16m10（m=0,1,2，）。则n{a}的前60项和等于m{b}的前15项和，而m...