第二节数列极限一、整标函数与数列①积分学的基本思想高等数学的主要内容就是微积分学。积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计算几何形体的长度、面积、体积等等。下面我们用计算面积的情形了解一下积分学的基本思想。怎样计算抛物线和直线所围成的平面图形的面积？我们主要分四步处理1）化整为零（分割）把所处理图形剪成很多小片；2）近似代替（作乘积）把每一小片近似看着长方形；3）积零为整（求和）把所有小片的近似面积加起来；4）无限趋近（取极限）当分割越来越细时，寻找和式越来越接近的数。（如图5）容易看出，当越来越大时，所求的近似面积会越来越接近（数列极限），所以我们所求平面图形的面积为。②数列的概念以上我们得到的这一列数就称为数列。下面我们再看几个数列的例子：（等比数列）数列我们通常记作，其中称为通项。如上面所提到的数列可分别记为其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。例如对于数列对任意的自然数有唯一的数与之对应。所以数列有时也可以记作。当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数。二、极限的定义对于数列，我们称常数是它的极限，是指当越来越大时，对应的越来越接近。这种说法很形象，但不够精确。当我们需要严格论证与极限有关的一些问题时，它的弊端就显露出来。例如要证明数列极限的唯一性这样一个简单命题都不太好说。随着问题的深入，我们迫切需要一个精确的（量化的）数列极限的定义。这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出。定义：如果数列与常数有下列关系，对任意给的正数（任意小），总存在正数，当时，不等式成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于。记为或注1：定义中的正数是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的。注2：对给定的对应的正整数不唯一。注3：数列的有限项的变化对其极限没影响。例1：证明：。证明：对于任给(任意小)的取，当时，有所以。例2：证明：。证明：对于任给(任意小)的取，当时，有所以。例3：设，证明：。证明：对于任给(任意小)的（无妨设）取，当时，有所以。注意：当时，函数是递减函数。三、数列极限的性质性质1：（极限的唯一性）如果数是数列的极限，则一定有。证明：假设。无妨设，取。因为，所以存在正数，当时有又因为，因此存在正数，当时有取，当时有这是一个矛盾，从而证明成立。如果对于数列，存在一正数，对任意的都有则称数列有界。否则称数列无界。性质2：（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界。证明：设，取，则存在正数，当时有即有取则对任意的都有，即数列有界。性质3：（极限的保号性）如果数列性质的极限为，且，则存在正数，当时，有与同号。证明：无妨设，取，因为，所以存在正数，当时有即有性质4：如果数列性质的极限为。如存在一正数，当时，，则；如存在一正数，当时，，则。此命题是性质3的逆否命题。思考题：性质4中的“”能否换成“”。四、数列子列在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序所得的新数列叫原数列的子数列。定理：（收敛数列与子数列之间的关系）数列收敛于的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于。作业：习题1—2：2题1、2小题、4题、6题、7题。
