高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数与函数的极值精选教案 理-人教版高三全册数学教案VIP免费

第15讲导数与函数的极值、最值考纲要求考情分析命题趋势了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2017·全国卷Ⅱ，112017·北京卷，192016·天津卷，202016·山东卷，20利用导数求函数的极值、最值，热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大．分值：5～8分1．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)<0__，右侧__f′(x)>0__，则点x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)>0__，右侧__f′(x)<0__，则点x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．2．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值．(×)(2)函数的极大值一定比极小值大．(×)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(×)(4)函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．(√)2．若函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝处有最值，那么a＝(A)A．2B．1C．D．0解析f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)，又f(x)在x＝处有最值，故x＝是函数f(x)的极值点，所以f′＝acos＋cosπ＝0，即a＝2，故选A．3．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为(A)A．0B．C．D．解析 y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，则x＝1，而f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，∴最小值为0，故选A．4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝(D)A．2B．3C．4D．5解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.5．设函数f(x)＝xex，则(D)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．一利用导数研究函数的极值利用导数研究函数极值问题的步骤【例1】已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝(x>0)可知，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．【例2】(1)(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(A)A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1(2)(2017·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是！！！###.解析(1)因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1．因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1＝(x＋2)(x－1)·ex－1．令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2