2.2.1综合法和分析法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1.已知“若12,aaR，且121aa，则12114aa”，试请此结论推广猜想.（答案：若12,.......naaaR，且12....1naaa，则12111....naaa2n）2.已知,,abcR，1abc，求证：1119abc.先完成证明→讨论：证明过程有什么特点？3.提问：基本不等式的形式？4.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2ababab.（讨论→板演→分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1.教学例题：(1).出示例1：已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）→板演证明过程（注意等号的处理）→讨论：证明形式的特点(2).提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.(3).练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证3bcaacbabcabc.(4).出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？→板演证明过程→讨论：证明过程的特点.→小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）(5).出示例3：求证3526.讨论：能用综合法证明吗？→如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→板演证明过程（注意格式）→再讨论：能用综合法证明吗？→比较：两种证法(6).提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因.(7).练习：设x>0，y>0，证明不等式：11223332()()xyxy.先讨论方法→分别运用分析法、综合法证明.(8).出示例4：见教材P48.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）(9).出示例5：见教材P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2.练习：1.,AB为锐角，且tantan3tantan3ABAB，求证：60AB.（提示：算tan()AB）2.已知,abc求证：114.abbcac3.证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.用心爱心专心1提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为2l，截面积为2()2l，周长为l的正方形边长为4l，截面积为2()4l，问题只需证：2()2l>2()4l.3.小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论12,,QQ，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,,PP，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）三、巩固练习：1.求证：对于任意角θ，44cossincos2.（教材P52练习1题）（两人板演→订正→小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2.ABC的三个内角,,ABC成等差数列，求证：113abbcabc.3.设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：222443cababS.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos423sinabCababC，即证：2cos23sinCC，即：3sincos2CC，即证：sin()16C（成立）.作业：教材P54A组1题.用心爱心专心2
