高考数一轮复习 第五章 第四节 数列求和突破热点题型 文VIP免费

第四节数列求和考点一公式法求和[例1](·浙江高考)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|.[自主解答](1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝【方法规律】三类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解．(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列的通项公式乘以(－1)n.已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.解：Sn＝2(1＋3…＋＋3n－1)＋[－1＋1－1…＋＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3…＋＋(－1)nn]ln3，所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝考点二错位相减法求和[例2]已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2…＋＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．[自主解答](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组解得所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.(2)证明：由(1)，得Tn＝2×2＋5×22＋8×23…＋＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23…＋＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23…＋＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2.【互动探究】在本例(2)中，若Tn＝anb1＋an－1b2…＋＋a1bn，n∈N*，求证：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．证明：由(1)，得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2…＋＋2na1，①2Tn＝22an＋23an－1…＋＋2na2＋2n＋1a1.②②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23…＋＋3×2n＋2n＋2＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10.而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.【方法规律】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)“在写出Sn”“与qSn”“”的表达式时应特别注意将两式错项对齐以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝.(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)由bn＝，得bn＋1＝，又 an＋1－3an＝3n，∴bn＋1－bn＝－＝＝＝.∴数列{bn}是等差数列，其首项b1＝1，公差为.∴bn＝1＋(n－1)＝.(2)an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1.∴Sn＝a1＋a2…＋＋an＝3×1＋4×3…＋＋(n＋2)×3n－1，①∴3Sn＝3×3＋4×32…＋＋(n＋2)×3n.②①－②，得－2Sn＝3×1＋3＋32…＋＋3n－1－(n＋2)×3n＝2＋1＋3＋32…＋＋3n－1－(n＋2)×3n＝－(n＋2)×3n，∴Sn＝－＋.高频考点考点三裂项相消法求和1．裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：(1)直接考查裂项相消法求和；(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．[例3](·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n…，有＋＋...