第五节数列的综合问题考点一等差、等比数列的综合问题[例1]在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：此时对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．[自主解答](1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q…，，an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋q2…＋＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，有an＝上式对n＝1也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝(3)由(2)，得当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3是a6与a9的等差中项，即2a3＝a6＋a9，可得2q2＝q5＋q8，由q≠0，得q6＋q3－2＝0，整理，得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．于是q＝－.而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋，所以an＋3＋an＋6＝＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＝2an.所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．【方法规律】解决等差、等比数列的综合问题的方法对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对n∈N*…均有＋＋＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3…＋＋c2013.解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2( d>0)．∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.(2)…由＋＋＋＝an＋1，得当n≥2…时，＋＋＋＝an.两式相减得：n≥2时，＝an＋1－an＝2.∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)．又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3.∴cn＝∴c1＋c2＋c3…＋＋c2013＝3＋＝3＋(－3＋32013)＝32013.考点二数列在实际问题中的应用[例2]“”某工业城市按照十二五(年至年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2“”的年排放量为例，原计划十二五期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市年SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)“”按原计划，十二五期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)“该城市为响应十八大”“”提出的建设美丽中国的号召，决定加大减排力度．在年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．[自主解答](1)“”设十二五期间，该城市共排放SO2约y万吨，依题意，年至年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(万吨)．“”所以按原计划十二五期间该城市共排放SO2约43.5万吨．(2)由已知得，年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以年至年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列．由题意得9×(1－p)8＜6，由于0
4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)．【方法规律】解决数列应用题应注意的问题解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是Sn，特别是要弄清项数．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．解：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d.an＋1＝an...
