第五节数列的综合问题考点一等差、等比数列的综合问题[例1]在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：此时对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．[自主解答](1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2
又b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q…，，an－an－1＝qn－2(n≥2)．将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋q2…＋＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，有an＝上式对n＝1也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝(3)由(2)，得当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1
由a3是a6与a9的等差中项，即2a3＝a6＋a9，可得2q2＝q5＋q8，由q≠0，得q6＋q3－2＝0，整理，得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．于是q＝－
而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋，所以an＋3＋an＋6＝＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2＝2an
所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．【方法规律】解决等差、等比数列的综合问题的方法对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2
