数学苏教版选修1-1 导数的概念VIP专享VIP免费

导数的概念【教学目标】1．理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法．2．理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数．3．理解函数在一点处可导，则函数在这点连续．【教学重点】导数的定义与求导数的方法．【教学难点】导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法．【内容分析】我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度．【教学过程】一、复习引入：１．曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点奎屯王新敞新疆作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT．我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线．y=f(x)xyQMPxOyy=f(x)xyQMPxOy2．确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan，即tan=．3．瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度．4．确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：从t0到t0+Δt，这段时间是Δt．时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0．当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度用心爱心专心116号编辑瞬时速度．二、讲解新课：1．导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即．注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在．(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0．(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率．(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度．它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为．(5)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关．(6)在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成奎屯王新敞新疆(7)若极限不存在，则称函数在点处不可导．(8)若在可导，则曲线在点（）有切线存在奎屯王新敞新疆反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线．2．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，用心爱心专心116号编辑都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝．函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝．所以函数在处的导数也记作奎屯王新敞新疆注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值．3．可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导．4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立．函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．从f(x)在x0处可导的定义可以知道，f(x)在x0处有定义，考察f(x)在x0处是否有极限，并且是否等于f(x0)．已知f′(x0)=，令x=x0+Δx，当Δx→0时，x→x0∴f(x)=f(x0+Δx)=［f(x0+Δx)－f(x0)+f(x0)］=［·Δx+f(x0)］=·Δx+f(x0)=f′(x0)·0+f(x0)=f(x0)∴f(x)在x0处连续．连续未必可导可通过反例说明，如y=|x|=在x0=0处 y=(－x)=0，y=x=0，∴y=0，∴y=|x|在x=0处连续．=∴y=|x|在x0=0处不可导．5．求函数的导数的一般方法：用心爱心专心116号编辑（1）求函数的改变量．（2）求平均变化率．（3）取极限，得导数＝．三、讲解范例：例1求y=x2在点x=1处的导数．分析：根据求函数在一点处的导数的方...