任意角的三角函数（2）教学目标（1）复习三角函数的定义、定义域与符号；（2）了解如何利用单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线；（3）利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。教学重点，难点（1）三角函数线的探究和作法。（2）教学过程一．问题情境1．情境：复习：（提问）（1）三角函数的定义及定义域：练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。解：由题设知，，所以，得，从而，解得或．当时，，；当时，，；当时，，．（2）三角函数的符号：练习2：已知且，（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。2．问题：能否用几何元素表示三角函数的值？例如能否用线段来表示三角函数值？二．学生活动引导学生思考：是否可以在角的终边上取一个特殊的点，使得三角函数值的表达式更简单？结论：当点在以原点为圆心，1为半径的圆上时，的函数值分别为点的纵坐标和横坐标。三．建构数学1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。2．有向线段：规定了方向（即规定了起点和终点）的线段。用心爱心专心115号编辑xCBA3．有向直线：规定了正方向的直线。如坐标轴是有向直线。4．有向线段的数量：若有向线段在有向直线上或与有向直线平行，根据有向线段与有向直线方向相同或相反，分别把它们的长度添上正号或负号，这样得到的数叫做有向线段的数量。记为规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。如图：在轴上有三点，则5．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.由四个图看出：用心爱心专心115号编辑oxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有，，．我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。四．数学运用1．例题：例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）；（2）；（3）；（4）．解：图略。例2．比较下列各组数的大小：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）例3．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）；（2）；（3）且1cos2x；用心爱心专心115号编辑答案：（1）71122,66kxkkZ；（2）；（3）；五．回顾小结：1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线；3．利用单位圆比较三角函数值的大小六．课外作业：1．利用余弦线比较的大小；2．若，则比较、、的大小。用心爱心专心115号编辑
