圆锥曲线复习讲义（1）椭圆一．复习目标：1．正确理解椭圆的两种定义，能运用定义解题，能根据条件，求出椭圆的标准方程；2．掌握椭圆的几何性质，能利用椭圆的几何性质，确定椭圆的标准方程；3．理解椭圆的参数方程，并掌握它的应用；4．掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，能解决与弦长、弦的中点有关的问题.二．基础训练：1．已知椭圆的方程为，、分别为它的焦点，CD为过的弦，则△的周长为16．2．已知椭圆的离心率，焦距是16，则椭圆的标准方程是或.3．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为-3＜k＜2且k≠.4．椭圆的焦点坐标为.三．例题分析：例1．如图，中，,,面积为1，建立适当的坐标系，求以、为焦点，经过点的椭圆方程.解：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立如图直角坐标系.设所求椭圆的方程为（＞＞0），又设点M、N、P的坐标分别为（-c，0）、（c，0）、（，），由斜率公式，得，，即－2+c=02－－2c=0由此解得点P的坐标为（，）.△PMN的面积为,∴.∴点P的坐标为（，）.∴，，由椭圆的定义，得=，从而.故所求椭圆的方程为.例2．已知椭圆的中心在坐标原点O，一条准线方程为，倾斜角为的直线交椭圆于、两点,设线段的中点为，直线与的夹角为．(1)当时，求椭圆的方程；(2)当时，求椭圆的短轴长的取值范围．解：(1)设所求的椭圆方程为＋＝1，由已知＝1，∴a2＝c，b2＝a2－c2＝c－c2.故所求的椭圆为＋＝1．即(1－c)x2＋y2＋c2－c＝0．①∵直线的倾斜角为45o，故可设直线l的方程为y＝x＋m（m≠0）．②由①、②消去y，得(2－c)x2＋2mx＋m2＋c2－c＝0．③由②、③得M点的坐标为(，).∴kOM＝c－1.∴tga＝＝＝.∵tga＝tg(arctg2)＝2，∴＝2，∴c＝．故所求的椭圆方程为＋＝1．(2)∵2＜tga＜3．即2＜＜3．解得＜c＜．∵b＝＝＝．由＜c＜,得＜－(c－)2＋＜，∴＜b＜，∴＜2b＜1．例3.如图，已知椭圆的一个顶点为A(0，1),焦点在x轴上，且右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M、N,且满足|AM|＝|AN|，并说明理由．解:由已知，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且b＝1．∵右焦点(c，0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，∴＝3，∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3．∴已知椭圆的方程为＋y2＝1．①设l存在且其方程为y＝kx＋m（m≠0）,代入①并整理得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.②设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B（，），则,∴B(，).∵|AM|＝|AN|的充要条件是AB⊥MN，故，得:，解之得，m＝－(1＋3k2)．此时，方程②的判别式△＞0，即(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝－9(3k2＋1)(k2－1)＞0．解得－1＜k＜1（k≠0）.∴当－1＜k＜1（k≠0）时，存在满足条件的直线；当k≤－1或k≥1时，不存在满足条件的直线l.四．课后作业：1．的一边在轴上，的中点在原点，，和两边上中线长的和为，则此三角形重心的轨迹方程是.2．直线与椭圆恒有共点时，则的取值范围是________.3．已知、是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则到左准线的距离为————————————————。4．方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是.5．是椭圆上的一个动点，则的最大值是——————，最小值是——————————。6．椭圆与直线相交于、两点，过中点与坐标原点的直线的斜率为,则的值为.7．若椭圆的一个焦点是，则的值为——————————————。．8．设是椭圆上一点，、是焦点，，则△的面积等于.9．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，若弦的长恰好等于短轴长，求直线的方程.10．如图：是两个定点，且，动点到点的距离是，线段的垂直平分线交于点，直线垂直于直线，且点到直线的距离为.（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点的轨迹方程；（Ⅱ）求证：点到点的距离与点至直线的距离之比为定值；（Ⅲ）若点到、两点的距离之积为，当取最大值时，求点的坐标.答案:+=1,e=,（0，）或（0，－）11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆相交于和，且，，求椭圆方程.(或)
