抛物线一、复习目标：1．掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二、知识要点：1．定义：．2．标准方程：．3．几何性质：．4．焦点弦长：过抛物线焦点的弦，若，则，，，．5．抛物线的焦点为，是过焦点且倾斜角为的弦，若，则；；．三、课前预习：1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（）圆椭圆双曲线抛物线2．设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为（）81843．过点的抛物线的标准方程是．焦点在上的抛物线的标准方程是．4．抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标，当为最大时，则用心爱心专心点的坐标．四、例题分析：例1．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．解：设抛物线的焦点的坐标为，根据抛物线的定义可知，点到点的距离等于点到轴的距离，则①又设抛物线顶点的坐标为，∵为线段的中点，则,代入①得，即抛物线的顶点的轨迹方程为：，∵，∴抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为，短半轴长为，则半焦距，所以它的离心率为定值。小结：若已知了圆锥曲线的准线方程、离心率及圆锥曲线上的一点的坐标，要求与准线对应的焦点或顶点的轨迹方程时，我们通常是先假设出与准线对应的焦点的坐标，然后由圆锥曲线的第二定义求出该焦点的轨迹方程。若还要求对应顶点的轨迹时，我们仍可以把顶点看成是圆锥曲线上的点，再由第二定义可以找出顶点的坐标与焦点的坐标间的关系，然后再把焦点的坐标代入焦点轨迹方程即可．例2．已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，（1）求取值范围；（2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值解：（1）由题知的方程为，设，用心爱心专心由，得，∴，得，∵，∴，，得，∴取值范围．（2）的中点，∴线段垂直平分线方程：，∴，，当时面积的最大值．小结：弦长公式是求直线交圆锥曲线所截弦长的常用方法．例3．已知抛物线与圆相交于两点，圆与轴正半轴交于点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在上．（1）求三点的坐标．（2）当两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线的方程．解：（1）由，与，得．（2）设，为抛物线的焦点，准线为，由定义知，设直线的方程为，代入抛物线得，用心爱心专心，，又与圆相切于上，∴，当过点时，取最小值，当过点或时，取最大值，，又，当时，取最大值，此时，所求直线的方程为．小结：求抛物线的焦半径时要转化为点到准线的距离．五、课后作业：1．方程表示的曲线不可能是（）直线抛物线圆双曲线2．以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（）相交相切相离以上三种均有可能3．抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径长．4．过定点，作直线与曲线有且仅有１个公共点，则这样的直线共有条；5．设抛物线的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为，若，那么。6．抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为。7．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程。8．是抛物线上的两点，且，（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线过定点；（3）求弦中点的轨迹方程；用心爱心专心（4）求面积的最小值；（5）在上的射影轨迹方程。用心爱心专心
