函数的和、差、积、商的导数(一)●教学目标(一)教学知识点1.和(或差)的导数法则.2.积的导数法则．(二)能力训练要求1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数．(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力．2.培养学生的运算能力．3.培养学生的直观猜想的能力.4.培养学生由特殊到一般进行归纳总结的能力.●教学重点和(或差)的导数法则、积的导数的法则．●教学难点和(或差)的导数法则，积的导数法则的引入，以及它们的证明过程，仍然用定义来证明.●教学方法建构主义式中的启发式.(让学生通过具体的实例，自己发现规律，进行归纳和猜想，主动地得到结论)●教具准备实物投影仪●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们大家先拿出笔和纸来求几个导数，可以用上节课学过的四个公式，也可以用导数的定义求.［板书］求下列函数的导数(1)x2(2)x3(3)x2+x3(4)5(5)x3+5(6)sinx(7)x2－sinx(8)sinx－5(或者写在纸上用实物投影仪放出来)(给5分钟左右，拿几个学生写的答案由实物投影仪放出来)解：(1)(x2)′=2x(2)(x3)′=3x3－1=3x2(3)(x2+x3)′=(4)5′=0(5)(x3+5)′=用心爱心专心(6)(sinx)′=cosx※(7)(x2－sinx)′=※(8)(sinx－5)′Ⅱ.讲授新课［师］我们学极限的时候，学习了极限的四则运算法则，知道函数的和、差、积、商的极限，等于函数的极限的和、差、积、商，那观察一下上面八道题目，我们可以发现什么.［生］(x2+x3)′=(x2)′+(x3)′［生］(x3+5)′=(x3)′+5′［生］(x2－sinx)′=(x2)′－(sinx)′［生］(sinx－5)′=(sinx)′－5′［师］那么对于一般的两个函数u、v，它们的和与差的导数与它们的导数的和与差有什么关系？能否根据刚才得到的几个等式进行猜想呢？［生］(u+v)′=u′+v′(u－v)′=u′－v′［师］这只是我们的猜想，要验证它是否正确，必须经过证明，这就是数学所要求的严谨性.下面我们用导数的定义来证明一下，和或差的导数等于导数的和或差.［板书］(u±v)′=u′±v′(可让学生证明)证明：y=f(x)=u(x)±v(x)Δy=u(x+Δx)±v(x+Δx)－［u(x)±v(x)］=u(x+Δx)－u(x)±［v(x+Δx)－v(x)］=Δu±Δv∴∴=u′(x)±v′(x)即y′=(u±v)′=u′±v′1.和(或差)的导数法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即(u±v)′=u′±v′.［师］猜想一下两个函数的积的导数与两个函数的导数有什么关系？用心爱心专心［生］(uv)′=u′v′［师］我们猜想出来的结论，有时是正确的，有时却是错误的.经过证明正确，才能说明确实是正确的，下面看一个例子.［板书］例如u=x2，v=x3u′=(x2)′=2x，v′=(x3)′=3x2u′·v′=2x·3x2=6x3(u·v)′=(x2·x3)′=(x5)′=5x4∴(u·v)′≠u′v′［师］所以两个函数的积的导数不一定等于两个函数的导数的积.［板书］2.积的导数.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即(uv)′=u′v+uv′.证明：y=f(x)=u(x)v(x)Δy=u(x+Δx)v(x+Δx)－u(x)v(x)=u(x+Δx)v(x+Δx)－u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)－u(x)v(x)=［u(x+Δx)－u(x)］v(x+Δx)+u(x)·［v(x+Δx)－v(x)］∴ v(x)在点x处可导，∴v(x)在点x处连续∴当Δx→0时，v(x+Δx)→v(x)∴=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)∴y′=(uv)′=u′v+uv′［师］我们由极限的性质可以知道，常数C可以直接提出来.∴(Cu)′=Cu′，我们也可以从法则2得出结论.［板书］(Cu)′=C′u+Cu′=0·u+Cu′=Cu′3.常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即(Cu)′=Cu′.［师］这说明，在求导时，可以把函数的常数因子直接提出来.下面我们用和、差、积的导数法则来计算几个函数的导数.4.课本例题［例1］求y=x3+sinx的导数.解：y′=(x3+sinx)′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx［例2］求y=x4－x2－x+3的导数.解：y′=(x4－x2－x+3)′=(x4)′－(x2)′－x′+3′=4x3－2x－1，即y′=4x3－2x－1.［例3］求y=2x3－3x2+5x－4的导数.解：y′=(2x3－3x2+5x－4)′=(2x3)′－(3x2)′+(5x)′－4′=2·3x2－3·2x+5=6x2－6x+5即y′=6x2－6x+5［例4］求y=(2x2+3)(3x－2)的导数.用心爱心专心解...
