1.2.2.(1+2)空间中的平行关系1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()．A．一条直线不相交B．两条相交直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交解析线面平行，则线面无公共点，所以选D，对于C，要注意“无数”并不代表所有．答案D2．如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．①④C．②③D．②④解析①中，取NP中点O，连MO，则MO∥AB，AB⊄平面MNP.MO⊂平面MNP∴AB∥平面MNP；②中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，故②不能得出；③中，AB与平面MNP相交；④中，∵AB∥NP，AB⊄平面MNP.NP⊂平面MNP.∴AB∥平面MNP.答案B3．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.答案A4．如图所示，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝______.解析由已知EG∥BD，∴＝，∴EG＝.答案5．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为________．解析取BC中点F，CD中点G，AD中点H，得▱EFGH，平面EFGH就是过E且与AC，BD平行的平面，且EF＝GH＝AC＝4，EH＝FG＝BD＝6，所以▱EFGH的周长为20.答案206．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．解l∥A1C1证明在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l.7．过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面()．A．不存在B．至多有一个C．有且只有一个D．有无数个解析设a，b为两异面直线，当所取点在过b(或过a)与a(或与b)平行的平面α内时，此时过该点不能作出与a，b都平行的平面，除上述点之外符合要求的平面只有一个．答案B8．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的()．A．一个侧面平行B．底面平行C．仅一条棱平行D．某两条相对的棱都平行解析当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A、B错．当平面α∥SA时，如图截面是四边形DEFG，又SA⊂平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF，∴DG∥EF，同理当α∥BC时，GF∥DE，∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行．故选C.答案C9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题________．解析m⊄α，n⊄α，m∥n，m∥α⇒n∥α，即①②⇒③.答案①②⇒③10．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝________.解析∵α∥β∥γ，∴＝.由＝，得＝，∴＝.∴而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.答案1511．如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.解法一如图，连接AC交BD于O，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.∵OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.法二同方法一有AP∥OM.∵PA⊂平面PAHG，OM⊄平面PAHG，∴OM∥平面PAHG.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，OM⊂平面BMD.∴OM∥GH，∴AP∥GH.12．如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.证明如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，∵F，G分别是BE，AB的中点，∴FG∥AE，FG＝AE，又AE＝2a，CD＝a，∴CD＝AE，而AE∥CD，∴CD∥FG，CD＝FG∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG，又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.
