1.2.2.3空间中的平行关系1．下列说法正确的是()．①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析由两平面平行的判定定理知③④正确．答案D2．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有几对()．A．2B．3C．4D．5解析当底面是正六边形时，共有4对面互相平行．答案C3．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()．A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG，∴EG∥面E1FG1，同理EH1∥平面E1FG1，且EG∩EH1＝E，∴平面EGH1∥平面E1FG1.答案A4．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案平行5．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．答案①②③④6．已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.7．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β有()．A．只能作一个B．至少一个C．不存在D．至多一个解析∵a是平面α外的一条直线，∴a∥α或a与α相交．当a∥α时，β只有一个，当a与α相交时，β不存在．答案D8．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C()．A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面解析由面面平行的性质定理，点C应在过AB中点且平行于α(或β)的平面内．故选D.答案D9．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案平行10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面BDD1B1.解析如图，取B1C1的中点P，连接NP、NH、MN、HF、PF，则可证明平面NPFH∥平面BDD1B1，若MN⊂平面NPFH，则MN∥平面BDD1B1.答案M∈FH(答案不唯一，如FH∩GE＝M等)11．已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD棱AB、PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.证明(1)如图，取DC中点Q，连接MQ、NQ.∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD.∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M是AB中点，ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD，MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.从而MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.12．(创新拓展)如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥PABCD，如图②.求证：在四棱锥PABCD中，AP∥平面EFG.证明在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB，AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG.
