高中数学 1-6-1垂直关系的判定活页训练 北师大版必修2VIP免费

1-6-1垂直关系的判定1．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()．A．n⊥βB．n∥β或nβC．n⊥αD．n∥α或nα解析如图所示．图①中n与β相交，②中nβ，③中n∥β，n∥α，∴排除A、B、C，故选D.答案D2．已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()．A．①③B．②④C．①④D．②③解析由α∥β，mα，nβ⇒m∥n或m、n异面，∴②错，由m∥n，m∥α⇒n∥α或nα，∴③错，故选C.答案C3．已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是()．A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析当三点A、B、C不在平面α的同侧时，平面ABC与α相交，相交时也可能垂直于α，排除A、B、C.答案D4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下结论：①AB⊥平面BCC1B1；②AC⊥平面CDD1C1；③AC⊥平面BDD1B1.其中正确的序号是________．解析结合图形，利用线面垂直的判定定理进行判断．答案①③5．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于平面α内两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内所有直线；③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l.其中正确命题的序号是________．解析利用线面、面面关系的判定及性质求解．①④是线面垂直、面面垂直的判定定理，故均正确．l∥α，则l与α内的直线可能平行，也可能异面，故②不正确；两个平面平行时，分别在两平面内也可以有相互垂直的直线，故③不正确；两个平面平行，两个平面内的直线有可能是异面直线，故⑤不正确．答案①④6．如图，在Rt△AOB中，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角，D是AB的中点．求证：平面COD⊥平面AOB.证明 Rt△AOC是由Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴Rt△AOC≌Rt△AOB，∴CO⊥AO，OB⊥AO，∴∠COB为二面角BAOC的平面角．又 二面角BAOC是直二面角，∴∠COB＝90°，∴CO⊥OB，∴CO⊥平面AOB，又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.7．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下面命题正确的是()．A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β解析A中，α⊥γ，β⊥γ⇒α与β平行或相交．∴A不正确；C中，m∥α，n∥α⇒m与n平行、相交或异面．∴C不正确；D中，m∥α，m∥β⇒α与β平行或相交．∴D不正确．故选B.答案B8．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()．A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案C9．如图所示，在空间四边形ABCD中，如果AB⊥CD，BC⊥DA，那么对角线AC与BD的位置关系是________．解析如图所示，过A作AH⊥平面BCD，因为CD⊥AB，BC⊥AD，所以CD⊥BH，BC⊥DH.故H为△BCD的垂心．连接CH，则BD⊥CH.∴BD⊥AC.答案AC⊥BD10．如果二面角αlβ中α内一点A到平面β的距离是A点到棱l距离的一半，则αlβ的平面角为________．解析二面角的大小可用平面角的大小来表示，它们的范围是[0°，180°]，过点A向平面β作垂线时垂足可能在半平面β内也可能在半平面β外，从而该有两种可能．过点A向平面β作垂线，垂足为点C，过点A向直线l作垂线，垂足为B，连接BC，则∠ABC或其补角为αlβ的平面角，显然∠ABC＝30°，故αlβ的平面角为30°或150°.答案30°或150°11．如图，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB交SB于点E.过点E作EF⊥SC交SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.证明(1) SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC. ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2) SA⊥平面AC，...