2.2.2-2等差数列的前n项和(二)1．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于()．A．22B．21C．19D．18解析∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，an＋an－1＋an－2＋an－3＋aa－4＝146，∴5(a1＋an)＝180，a1＋an＝36，Sn＝＝＝234.∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.答案D2．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是()．A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为Sn的最大值解析由S50.又S6＝S7⇒a7＝0.由S7>S8⇒a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.答案C3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()．A.B.C.D.解析法一＝＝⇒a1＝2d，＝＝＝.法二由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3⇒S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3⇒S12＝10S3，所以＝.答案A4．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是a1＝，d＝.解析S偶－S奇＝5d＝15－＝，∴d＝.由10a1＋×＝15＋＝，得a1＝.答案5．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为.解析钢管排列方式从上到下各层管数组成一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个∴总数为1＋2＋3…＋＋n＝当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210>200.答案106．已知{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75.(1)求证：数列{}是等差数列；(2)求数列{}的前n项和Tn.(1)证明设数列{an}的公差为d，由题意得Sn＝na1＋n(n－1)d，∵S7＝7，S15＝75，∴解得∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)．∴－＝.∴数列{}是等差数列．(2)解由(1)知数列{}的首项为＝－2，公差为，∴其前n项和为Tn＝n·(－2)＋·＝n2－n.7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是()．A．2B．3C．4D．5解析＝＝＝＝7＋.∴n＝1,2,3,5,11.答案D8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|a30|等于A．445B．765C．1080D．1305解析an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．∴an＝－60＋(n－1)·3，即an＝3n－63.∴an＝0时，n＝21，an>0时，n>21，an<0时，n<21.S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|a30|＝－a1－a2－a3…－－a21＋a22＋a23…＋＋a30＝－2(a1＋a2…＋＋a21)＋S30＝－2S21＋S30＝765.答案B9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，前110项之和为.解析数列S10，S20－S10，S30－S20…，，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为d，则前10项的和T10＝10S10＋d＝S100＝10.得d＝－22，即S110－S100＝100＋(11－1)d＝－120，∴S110＝－110.答案－11010．已知数列{an}中，a1＝－7，a2＝3，an＋2＝an＋2，则S100＝.解析由a1＝－7，an＋2＝an＋2，可得an＋2－an＝2，∴a1，a3，a5，a7…，，a99是以－7为首项，公差为2的等差数列，共50项．∴a1＋a3＋a5…＋＋a99＝50×(－7)＋×2＝2100.同理，a2，a4，a6…，，a100是以3为首项，公差为2的等差数列，共50项．∴a2＋a4＋a6…＋＋a100＝50×3＋×2＝2600.∴S100＝2100＋2600＝4700.答案470011．已知数列{an}中的相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2＋3nx＋cn＋n2＝0(n∈N*)的两根，且a1＝1，求c1＋c2…＋＋c2000的值．解：由题意得由①知an＋1＋an＋2＝－3(n＋1)，③③－①得an＋2－an＝－3.∴数列{an}是奇数项成等差数列，且偶数项也成等差数列的数列．∴a2n－1＝a1＋(n－1)(－3)＝4－3n，a2n＝a2＋(n－1)(－3)＝－1－3n，a2n＋1＝1－3n.∴c2n－1＝a2n－1·a2n－(2n－1)2＝－，c2n＝a2n·a2n＋1－(2n)2＝－1，∴c1＋c2…＋＋c2000＝1000＝－7250.12．(创新拓展)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，若a32＝a1·a9，S5＝a52.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．解(1)设数列{an}公差为d(d>0)，因为a32＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，有d2＝a1d.因为d≠0，所以a1＝d，①因为S5＝a52，所以5a1＋·d＝(a1＋4d)2，②由①②得，a1＝，d＝，所以an＝n.(2)bn＝＝·＝·(1＋－)．所以b1＋b2＋b3…＋＋b99＝[99＋(1－)＋(－)…＋＋(－)]＝(100－)＝.
