圆锥曲线知识网络圆锥曲线结构简图画龙点晴概念椭圆的定义:平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距.椭圆的标准方程:焦点在x轴上的椭圆的标准方程是12222byax(a>b>0);焦点在y轴上的椭圆的标准方程是12222bxay(a>b>0).[活用实例][例1]已知椭圆C1与椭圆C2有相同的焦点,椭圆C2的方程是5922yx=1,椭圆C1过点(-6,1),求椭圆C1的标准方程。[题解]椭圆C2的焦点为(-2,0)、(2,0),椭圆C1的焦点为(-2,0)、(2,0),设C1的方程为12222byax(a>b>0),由已知,有11642222baba,解得a2=8,b2=4,所以所求椭圆C1的方程为14822yx.[例2]已知椭圆经过点(2,-2)和点(-1,214),求它的标准方程。[题解]设椭圆的标准方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0),用心爱心专心椭圆经过点(2,-2)和点(-1,214),4181127124BABABA,故所求的椭圆方程为4822yx=1.[例3]已知椭圆9x2+16y2=144,焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,且F1PF2=600,求F1PF2的面积.[题解]椭圆方程为191622yx,a=4,b=3,c=7.在F1PF2中,由余弦定理,得(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos600=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,而c=7,|PF1|+|PF2|=2a=8,|PF1||PF2|=12,F1PF2的面积S=21|PF1||PF2|sin600=33.椭圆的几何性质:根据椭圆的标准方程是12222byax(a>b>0)可以得以下性质:范围:设P),(yx是椭圆上的任意一点,则|x|a,|y|b;对称性:图象关于x轴、y轴成轴对称,关于原点成中心对称;顶点:椭圆与x轴交于A1(-a,0),A2()0,a两点,与y轴交于B1(0,)b,B2(0,-)b两点,则A1、A2、B1、B2都叫做椭圆的顶点,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴与短轴;离心率:椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率,其范围是(0,1);准线:直线x=ca2叫做椭圆的准线.椭圆上任意一点到左焦点(或右焦点)的距离与到相应的左准线(或右准线)的距离之比等于椭圆的离心率e.[活用实例][例4]求经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的方程。[题解]椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,5),则可设所求椭圆方程为522mymx=1(m>0)把点(2,-3)代入解得:m=10或m=-2(舍去),所求椭圆方程为151022yx=1.[例5]一个椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,P是椭圆上的一点,P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510,试求该椭圆的离心率及其方程。[题解]设椭圆方程为12222byax(a>b>0),左焦点F(-c,0),右顶点A(a,0),上顶点B(0,b),用心爱心专心P(-c,y0)在椭圆上,则y0=ab2,不妨设(-c,ab2),由PO||BA得kPO=kBA,即-,2acbabb=c,a=2c,则离心率e=22.又由题意得a-c=510,则a=5,10c,所求椭圆方程为51022yx=1.[例6]根据条件,求椭圆的标准方程:(1)离心率为53,准线方程为x=350;(2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点连线互相垂直,且此焦点到它对应的准线的距离为2.[题解](1)由题意,64,6,103505322bcacaac所求椭圆方程为6410022yx=1.(2)设焦点F(c,0),准线为x=ca2,由F对短轴的张角为直角,得a=2b,由,2,22222222cbabacccaba所求椭圆方程为4822yx=1.椭圆的参数方程:椭圆12222byax()0ba的参数方程是:sincosbyax,(02).[例7]已知P在椭圆4922yx=1上,求点P到直线:x+2y+15=0的距离的最大值。[题解]设P(3cos,2sin)(02),由于椭圆上的点P(3cos,2sin)都满足3cos+4sin+15>0,则点P到直线的距离为:d=515)sin(5515sin4cos321|15sin4cos3|22,因为-11)sin(,所以当1)sin(时,d有最大值5.[例8]P是椭圆12222byax(a>b>0)的第一象限内的弧AB上的点,当四边形OAPB面积最大时,求P点的坐标,并求此最大值。[题解]设P(acos,bsin)(02),则四边形...