正弦、余弦定理的应用【考点透视】一、考纲指要掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。二、命题落点1．利用正弦定理、余弦定理，解斜三角形，如例2。2．与三角函数内容结合起来进行化简，如例3。3．以实际问题，物理问题的形式出现，考察学生的数学建模能力，如例4。【典例精析】例1：（2003·北京春）若A、B、C是△ABC的三个内角，且Aa，即2RsinC>2RsinA.所以sinC>sinA.答案：A．例2：（2005·湖北文）在△ABC中，已知63,31cos,3tanACCB，求△ABC的面积.解析：用正弦定理，或余弦定理解三角形．设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.21cos,23sin,60,3tanBBBB得由应用正弦定理得又,322cos1sin2CC2236sin38sin32bCcB.3112232sinsin()sincoscossin.232363ABCBCBC故所求面积.3826sin21AbcSABC例3：（2000·京皖春）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.用心爱心专心证明：CBAcbasin)sin(222.解析：本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，∴a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB.整理得cAbBacbacoscos222.依正弦定理，有CBcbCAcasinsin,sinsin，∴CBACABBAcbasin)sin(sincossincossin222．【常见误区】1．运用正弦定理和余弦定理解题，演算过程中，要注意算法简练，算式工整，计算准确．2．已知三角形的两边和其中一边的对角，求其它元素时，要分类讨论：什么时候无解，什么时候有一解，什么时候有二解．3．已知三角形三边求助于三个内角有两种途径：若用余弦定理求出一个角，再用正弦定理求另一个角时，最好用余弦定理求出三角形的最大角，这样一来，用正弦定理求出的另一角一定是锐角；若两次用余弦定理求三角形的二个角，通常先求两个较小边所对的角，这样做，计算较为简单一些．【基础演练】1．（2005·全国）在ABC中，已知CBAsin2tan，给出以下四个论断：①1cottanBA②2sinsin0BA③1cossin22BA④CBA222sincoscos其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③2．（2005·辽宁）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，用心爱心专心则m的范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞)D．（3，+∞）3．（2004·全国４)．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）A．223B．233C．23D．334．（2004·甘肃）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b=（）A．231B．31C．232D．325．(2005·上海文)在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则AC=__________.6．(2005·上海理)在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=__________.7．（2005·四川理）ABC中，内角ABC、、的对边分别是abc、、，已知abc、、成等比数列，且3cos4B．（1）求cotcotAC的值；（2）设32BABC�，求ac的值．8．（2005·全国）在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值．9．（2001·全国文）已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.用心爱心专心
