全面认识抛物线的特征二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象及性质函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）y＝ax2＋bx＋c（a＜0）图象xyOx＝－b2axyOx＝－b2a开口向上向下对称轴x＝－b2a顶点（－b2a，4ac－b24a）增减性当x＜－b2a时，y随x的增大而减小，当x＞－b2a时，y随x的增大而增大当x＜－b2a时，y随x的增大而增大，当x＞－b2a时，y随x的增大而减小最值当x＝－b2a时，y最小＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y最大＝4ac－b24a方法归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标和对称轴的求法：①配方法：y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋b2a）2＋4ac－b24a；②公式法：对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a）；③画出抛物线，根据图象确定对称轴及顶点坐标。总结：1.用配方法确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。2.运用数形结合的思想求二次函数的最值。例题1抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x⋯－3－201⋯y⋯－6066⋯从上表可知，下列说法正确的有（）①抛物线与x轴的交点为（－2，0）（2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是：直线x＝12；④在对称轴左侧，y随x增大而减少。A.1个B.2个C.3个D.4个解析：可将表格中的数据描在坐标系中，根据二次函数的图象和性质进行判断。答案：根据表格数据可得：抛物线的开口方向向下，当x＝0时，y＝6，故②正确； x＝0和x＝1的函数值相等，∴对称轴为x＝0＋12＝12，∴③正确；从表格中可得（－2，0）是此抛物线与x轴的一个交点，∴抛物线与x轴的另一个交点必与（－2，0）关于直线x＝12对称，所以，另一个交点的坐标为（3，0），∴①错误； 此抛物线开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，④错误，故选B。点拨：此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质，会根据图象得出某些信息，如抛物线的顶点、对称轴、开口方向等。另外，对于表格中的数据应善于将其转化为点的坐标，根据坐标特点确定函数关系式。例题2已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－3，－3）和点P（t，0），且t≠0。（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图所示，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t＝－4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直．接．写出使该抛物线开口向下的t的一个值。PO-3-3Axy解析：第（1）题观察图象即可，第（2）题已知t的值，相当于已知点P的坐标，那么把点A和P的坐标代入解析式，通过解二元一次方程组求a、b的值。（3）题答案不唯一，把点A和P的坐标代入解析式整理出一个关于a和t的等式，令a＜0，确定t的取值。答案：（1）y的最小值是－3，t＝－6。（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入y＝ax2＋bx，得0＝16a－4b－3＝9a－3b，解得a＝1b＝4，此时抛物线开口向上。（3）依题意应满足at2＋bt＝09a－3b＝－3a＜0，即at2＋（3a＋1）t＝0且a＜0。当t≠0时有at＋3a＋1＝0，即a＝－1t＋3＜0，解得t＞－3。所以写出一个大于－3的t值即可。（答案不唯一）。点拨：本题主要考查二次函数的图象和性质，解答这类问题时注意数形结合思想的运用，抛物线与x轴的两个交点关于该抛物线的对称轴对称，解答时充分利用该性质有时可大大简化计算。二次函数的增减性：在对称轴同侧的点，y随x的增大而增大（或减小）；不在对称轴同侧的点，若a＞0，则到对称轴的距离大的点的函数值较大，若a＜0，则到对称轴的距离大的点的函数值较小。xyOxyOA1A2A3A4A1A2A3A4例已知两点A（－5，y1），B（3，y2）均在抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A.x0＞－5B.x0＞－1C.－5＜x0＜－1D.－2＜x0＜3解：由点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，且y1＞y2≥y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为y1＞y2≥y0，所以得出点A、B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当A、B在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，因此x0＞3；当A、B在对称轴的两侧时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0－（－5）＞3－x0，解得x0＞－1，综上所得：x0＞－1，故选B。分析：本题考查二次函数的图象和性质，特别是...
