第2课时数列一、填空题1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是________．解析：由a7＋a9＝a4＋a12，得a12＋1＝16，故a12＝15.答案：152．(江苏姜堰、如皋、淮阴、前黄四校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a12＋a17＋a19＝8，则S25的值为________．解析：∵{an}为等差数列，且a4＋a12＋a17＋a19＝8.∴(a4＋a12)＋(a17＋a19)＝8，即2(a8＋a18)＝8，∴a8＋a18＝4，∴S25＝＝＝50.答案：503．若a≠b，数列a，x1，x2，b和数列a，y1，y2，y3，b都是等差数列，则的值为________．解析：设两个数列的公差分别为d1和d2，则b＝a＋3d1，∴d1＝，即x2－x1＝.b＝a＋4d2，∴d2＝，即y2－y1＝.∴＝.答案：4．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，S4＝S8，则Sn＞0成立的最大自然数n为________．解析：S4＝S8⇒a5＋a6＋a7＋a8＝0⇒a6＋a7＝0，又a1＞0，d＜0，S12＝＝0，n＜12时，Sn＞0.答案：115．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N)，则a6＝________.解析：由题意得－＝5，∴{}是首项为＝3，公差为5的等差数列．∴＝3＋5(n－1)＝5n－2，∴an＝，∴a6＝.答案：6．(苏州市高三教学调研测试)设等差数列{an}的公差为d，则“a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1”的充要条件是“d＝________.”解析：由等差数列性质得＝＝＝a4，所以方差s2＝[(a1－a4)2＋(a2－a4)2＋…＋(a7－a4)2]＝×28d2＝1，所以d2＝⇒d＝±.答案：±7．(南京市调研测试)已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(n∈N*)．若a1>1，a4>3，S3≤9，则通项公式an＝________.解析：由a1>1，a4>3，S3≤9得，，令x=a1，y=d得，，在平面直角坐标系中作出可行域可知，符合要求的整数点只有(2,1)，即a1=2，d=1，所以an=2+n-1=n+1.答案：n+1二、解答题8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，问：此数列中前几项和最大？解：S9＝S17⇒17a1＋d＝9a1＋d⇒d＝－2，∴Sn＝－(n－13)2＋169，∴当n＝13时，前n项和最大．9．已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<1.解：(1)设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9得log28＝log22＋2d，即d＝1.所以log2(an－1)＝1＋(n－1)＝n，即an＝2n＋1.(2)因为＝＝，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝1－<1.10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：∵an＝4－，∴an－2＝.∴＝＝＝＋，即bn－bn－1＝.∴数列{bn}是公差为的等差数列．(2)解：由(1)b1＝＝，∴bn＝＋(n－1)·＝n.∴＝n，∴an＝.1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于________．解析：{an}是等差数列，∴S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，S6－S4＋S2＝2(S4－S2)，∴S6＝3S4－3S2＝30－6＝24.答案：242．已知函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A(1,1)、点B(2,3)及点C(n，Sn)，Sn为数列{an}的前n项和，(n∈N*)．(1)求Sn，an；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，bn＋2＝log2an，求不等式Tn＜bn的解集，(n∈N*)．解：(1)由，⇒∴f(x)＝2x－1.∴Sn＝2n－1(n∈N*)∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当n＝1时，S1＝a1＝1.∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)∵bn＝log2an－2＝n－3，∴数列{bn}为等差数列，∴Tn＝＝.∵Tn－bn＝－(n－3)＝＝＜0，∴1＜n＜6.∵n∈N*，∴n＝2、3、4、5，∴所求不等式的解集为{2,3,4,5}
