第八知识块平面解析几何初步、圆锥曲线与方程第1课时直线的斜率、直线的方程一、填空题1．若过点P(3－a,2＋a)和Q(1,3a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a的取值范围为__________．解析：k＝tanα＝<0，∴1
0，解得a>1或a<－2，所以a的取值范围是{a|a>1或a<－2}．答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)6．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是__________________．解析：y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝＝1.∴k的取值范围是[0,1]．答案：[0,1]7．(江苏省高考命题研究专家原创卷)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________.解析：因为函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，所以1·m＋1·n－1＝0，所以m＋n＝1，由题意得m>0，n>0，所以＋＝·(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当m＝n＝时取等号．答案：4二、解答题8．一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：∵点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的直线方程为＝，即2x＋y－4＝0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即2x－y－4＝0.∴入射光线所在的直线方程为2x－y－4＝0，反射光线所在的直线方程为2x＋y－4＝0.9．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；当m≠－1时，k＝.(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，AB的方程为y－2＝(x＋1)．(3)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－]∪，∴α∈∪.综合①②，知直线AB的倾斜角α∈.10．已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．解：解法一：直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．kAP＝＝－2，kAQ＝＝，则－≥或－≤－2，∴－≤m≤且m≠0.又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点．∴所求m的范围是－≤m≤.解法二：过P、Q两点的直线方程为y－1＝(x＋1)，即y＝x＋代入x＋my＋m＝0.整理得x＝－，由已知－1≤－≤2，解得－≤m≤.解法三：由P(－1,1)、Q(2,2)在直线l上或在l两侧可知：(－1＋m＋m)(2＋2m＋m)≤0，即(2m－1)(3m＋2)≤0，解得－≤m≤.1．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的范围．解：如上图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；直线l的斜率k的范围是[－1,1]．2．求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．解：解法一：由知直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，∴设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得解得k＝(k＝2舍去)，∴直线l2的方程为x－2y＝0.解法二：设所求直线上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上．∴，变形得.代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2×(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.∴所求直线方程为x－2y＝0.
