第7课时双曲线一、填空题1．已知双曲线－y2＝1的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．解析：设P为左支上的点，F1为左焦点，PF1＝r1，PF2＝r2，则②－①2得r1r2＝2.∴S△F1PF2＝r1r2＝1.答案：12．双曲线2mx2－my2＝2的一条准线是y＝1，则m的值为________．解析：可知双曲线的焦点在y轴上，∴m<0.双曲线方程可化为－＝1，因此a2＝－，b2＝－，c2＝－.∵准线是y＝1，∴a2＝c，即－＝.解得m＝－.答案：－3．(南通市高三调研)双曲线－＝1的顶点到它的渐近线的距离为________．解析：∵顶点为(±4,0)，渐近线为±＝0，∴d＝＝.答案：4．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足PF1·PF2＝32，则∠F1PF2＝________.解析：设∠F1PF2＝α，PF1＝r1，PF2＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝r＋r－2r1r2cosα，∴cosα＝＝＝0.∴α＝90°.答案：90°5．(苏北四市高三第三次联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.解析：根据题意，点M到准线x＝－的距离为5，所以＋1＝5，p＝8，故m＝±4，又左顶点A的坐标为(－1,0)，双曲线的渐近线为y＝±x(a>0)，所以＝，即a＝.答案：6．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设双曲线x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝所围成的三角形区域(包括边界)为E，P(x，y)为该区域内的一动点，则目标函数z＝x－2y的最小值为________．解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x±y＝0，则其与直线x＝的交点为和，所以可求得目标函数z＝x－2y的最小值为－.答案：－二、解答题7．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程．解：∵点A与圆心O的连线的斜率为－，∴过点A圆的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.设双曲线方程为x2－＝λ.∵点A(4，－1)在双曲线上，∴16－＝λ，λ＝.∴双曲线的标准方程为－＝1.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1·MF2＝0.证法二：∵MF1＝(－3－2，－m)，MF2＝(2－3，－m)，∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1·MF2＝0.(3)解：△F1MF2的底F1F2＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.9.如上图从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．解：设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2x-x1,2y-y1)．∵N在直线x+y=2上，∴2x-x1+2y-y1=2.①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②①②联立解得③又点Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x－y＝1.④③代入④，得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.1．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.解析：在△ABC中，由正弦定理知＝，由题意知a－c＝10，b＝12，∴＝＝.答案：2．在双曲线－＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．解：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．∵双曲线的准线方程为x＝±，∴＝.∵PF1＝2PF2，∴P在双曲线的右支上．∴＝.∴x＝.把x＝代入方程－＝1得y＝±.所以，P点的坐标为.
