第10课时随机变量的均值和方差一、填空题1．已知X～0－1，且E(X)＝0.1，则V(X)＝________.解析：V(X)＝0.1×(1－0.1)＝0.09.答案：0.092．已知X～B(100,0.2)，是V(2X＋1)＝________.解析：V(X)＝100×0.2×0.8＝16.∴V(2X＋1)＝4×16＝64.答案：643．某人射击的命中率为0.7，则他在10次射击中命中次数的期望是________．解析：所求期望是10×0.7＝7.答案：74．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则V(η)等于________．解析：由题意知n×＝15，∴n＝30，V(η)＝30××＝.答案：5．(·银川一中测试)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．解析：X的分布列为：X3210P0.60.4×0.60.42×0.60.43∴E(X)＝2.376.答案：2.3766.抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中，成功次数n的期望为________．解析：抛掷三个骰子，三个骰子都不出现5点和6点的概率是××＝，∴至少有一个5点或6点的概率为1－＝.∴n～B，E(n)＝54×＝38.答案：38二、解答题7．(·山东济宁一中调研)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，求E(X)、V(X)．解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X～B(200,1%)．因为E(X)＝np，V(X)＝npq，这里n＝200，p＝1%，q＝99%，所以E(X)＝200×1%＝2，V(X)＝200×1%×99%＝1.98.8．甲、乙两个运动员射击命中环数X1、X2的分布列如下：环数k8910P(X1＝k)0.30.20.5P(X2＝k)0.20.40.4求射击比较稳定的运动员是谁？解：E(X1)＝0.3×8＋0.2×9＋0.5×10＝9.2，E(X2)＝0.2×8＋0.4×9＋0.4×10＝9.2，V(X1)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76，V(X2)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56.∵E(X1)＝E(X2)，V(X2)＜V(X1)，∴乙稳定．9．(·江苏省海门调研)电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的．正确回答问题A可获得奖金m元，正确回答问题B可获得奖金n元．活动规定：①参与者可任意选择回答问题的顺序；②如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题．试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．解：随机猜对问题A的概率p1＝随机猜对问题B的概率p2＝，回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：(1)先回答问题A，再回答问题B.参与者获奖金额ξ可取0，m，m＋n，则P(ξ＝0)＝1－p1＝，P(ξ＝m)＝p1(1－p2)＝，p(ξ＝m＋n)＝p1p2＝.Eξ＝0×＋m×＋(m＋n)×＝＋.(2)先回答问题B，再回答问题A.参与者获奖金额η可取0，n，m＋n，则P(η＝0)＝1－p2＝，p(η＝n)＝p2(1－p1)＝，p(η＝m＋n)＝p2p1＝，Eη＝0×＋n×＋(m＋n)×＝＋.Eξ－Eη＝－＝于是，当＞时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；当＝时，Eξ＝Eη，两种顺序获奖的期望值相等；当＜时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．1．在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发，记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得零分；并且凡参赛者一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.9，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：设击中次数为X，比赛得分为Y，则Y＝3X＋2.由题意知X～B(10,0.9)，∴E(X)＝10×0.9＝9，V(X)＝10×0.9×(1－0.9)＝0.9.E(Y)＝E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝29，V(Y)＝V(3X＋2)＝9V(X)＝8.1.∴小李在比赛中得分的数学期望为29，方差为8.1.2．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为.假设汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：(1)ξ的分布列及期望Eξ；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，用Ak表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，则P(Ak)＝(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立．∴P(ξ＝k)＝k·(k＝0,1,2,3)，P(ξ＝4)＝4＝，则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝.从而ξ有分布列：ξ01234PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(2)P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－＝.即停车时最多已通过3个路口的概率为.
