第2课时不等式的证明简答题1．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；同理ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.2．(南京调研)已知a，b为正数，求证：＋≥.证明：因为a>0，b>0，所以(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9.所以＋≥.3．已知a，b是正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.证明：∵a＋b≥2＞0，①a2＋b2≥2ab＞0，②a3＋b3≥2＞0，③∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8··ab·＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求证：|ax＋by|≤4.证明：要证|ax＋by|≤4，只要证(ax＋by)2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要证a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要证2abxy≤b2x2＋a2y2，即证(bx－ay)2≥0.显然此式成立．故原不等式成立．5．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：＋＋＜a＋b＋c.证明：a＋b＞2，①b＋c＞2，②a＋c＞2，③∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞2＋2＋2，即＋＋＜a＋b＋c.6.已知α∈(0，π]，求证：2sin2α≤证明：证法一：(作差比较法)2sin2α－＝4sinαcosα－＝＝∵α∈(0，π)，∴sinα>0,1－cosα>0，(2cosα－1)2≥0.∴2sin2α－≤0.∴2sin2α≤.证法二：(分析法)要证明2sin2α≤成立，只要证明4sinαcosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα>0.只要证明4cosα≤.上式可变形为4≤＋4(1－cosα)．∵1－cosα>0，∴＋4(1－cosα)≥2＝4，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号．∴4≤＋4(1－cosα)成立．∴不等式2sin2α≤成立．证法三：(综合法)∵＋4(1－cosα)≥4，(1－cosα>0，当且仅当cosα＝即α＝时取等号)∴4cosα≤.∵α∈(0，π)，∴sinα>0.∴4sinαcosα≤.∴2sin2α≤.1．已知a>0，b>0，求证：(a＋b)2＋(a＋b)≥2(＋)．证明：要证明(a＋b)2＋(a＋b)≥2·(＋)，只需证明(a＋b)≥2(＋)．∵a>0，b>0，∴a＋b≥2>0.只需证明a＋b＋≥＋，只需证明＋≥＋.只需证明a＋≥>0，b＋≥>0.显然上式成立．∴(a＋b)2＋(a＋b)≥2(＋)成立．2．已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：＋＋<2.证明：∵a、b、c为三角形的三边长，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴<.两边同乘以2c，∴<.同理<，<.∴＋＋<＋＋＝2.
