2.3.2双曲线的几何性质双基达标限时15分钟1．若双曲线－＝1的两条渐近线垂直，则双曲线的离心率e为________．解析由于渐近线垂直，则双曲线为等轴双曲线．答案2．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线方程为__________．解析设双曲线方程为y2－x2＝λ(λ≠0)． 焦点为(0，±4)，∴λ>0， 2λ＝(4)2，∴λ＝24.答案y2－x2＝243．双曲线的两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为__________．解析渐近线夹角为60°，则渐近线y＝x的倾角为30°，从而e＝＝2或e＝＝.答案2或4．中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为____________．解析 ＝，∴＝.∴＝. 双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.∴所求双曲线的渐近线方程y＝±x.答案y＝±x5．焦点为(0，6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是__________．解析设所求双曲线的方程为－＝1(λ≠0)． 双曲线的一个焦点为(0，6)，且其在y轴上，∴λ<0.∴－λ－2λ＝36，λ＝－12.∴所求双曲线方程是－＝1.答案－＝16．(1)求双曲线－＝－1的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)已知双曲线－＝1与双曲线－＋＝1，它们的离心率e1，e2是否满足等式e1－2＋e2－2＝1?解(1)将双曲线方程－＝－1化为标准方程为－＝1.由此可知a2＝3，b2＝4，所以a＝，b＝2，c＝＝，故焦点坐标为(0，)，(0，－)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x＝±x.(2)双曲线－＝1中，可知a2＝9，b2＝16，于是有c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，又a＝3，故离心率e1＝.双曲线－＋＝1中，可知a2＝16，b2＝9，于是有c2＝25，即c＝5，又a＝4，故离心率e2＝.所以e1－2＋e2－2＝()－2＋()－2＝()2＋()2＝1，即e1－2＋e2－2＝1.综合提高限时30分钟7．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析双曲线－＝1的焦点为(4，0)、(－4，0)．渐近线方程为y＝±x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝＝2.答案28．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e＝，则此双曲线的方程是____________．解析焦点坐标为(0，10)，故c＝10，a＝6，b＝8.答案－＝19．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝4ab，则双曲线的离心率是________．解析由题意，|PF1－PF2|＝2a，①PF12＋PF22＝4c2①平方得PF12＋PF22－2PF1·PF2＝4a2，即4c2－8ab＝4a2，因此b＝2a由于c2－a2＝4a2，因此c2＝5a2，即e＝.答案10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)、F2(c，0)．若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析方法一：＝(由正弦定理得)，∴＝＝.∴PF1＝ePF2.又 |PF1－PF2|＝2a(e＞1)，∴(e－1)PF2＝2a，∴PF2＝.由双曲线性质知PF2≥c－a，∴≥c－a，即≥e－1，得e2－2e－1≤0，又 e＞1，得1＜e≤1＋.方法二：由PF2＝，得PF1＝，于是由PF1＋PF2≥F1F2，得＋≥2c，即＋≥e，所以e2－2e－1≤0，解得10，b>0)为所求．由e＝，得＝①由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1②又a2＋b2＝c2.由①②③得a2＝1，b2＝③∴双曲线标准方程为x2－＝1.若双曲线的实轴在y轴上，设－＝1(a>0，b>0)．同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2.解之得b2＝－(不合题意，舍去)．故双曲线的实轴只能在x轴上，所求双曲线标准方程为x2－＝1.12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右两支相交于点A、B.(1)求证：点P在直线x＝上；(2)求双曲线的离心率e的范围．(1)证明设双曲线的右焦点为F(c，0)，斜率大于零的渐近线方程为y＝x.则l的方程为y＝－(x－c)，从而点P坐标为(，)．因此点P在直线x＝上．(2)解由消去y得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0. A、B两点分别在双曲线左、右两支上，设A、B两点横坐标分别为xA、xB.由b4－a4≠0且xAxB<0.即<...
