第一章解三角形§1
1正弦定理和余弦定理材拓展1．几何法证正弦定理设BD为△ABC外接圆⊙O的直径，则BD＝2R，下面按∠A为直角、锐角、钝角三种情况加以证明．(1)若∠A为直角，如图①，则BC经过圆心O，∴BC为圆O的直径，BC＝2R，asinA＝BCsin90°＝BC＝2R
(2)若∠A为锐角，如图②，连结CD，则∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BCsin∠BDC＝BCsin∠BAC， BCsin∠BDC＝BD＝2R，∴BCsin∠BAC＝2R
即asinA＝2R
(3)若∠A为钝角，如图③，连结CD，则∠BAC＋∠CDB＝π，所以sin∠BAC＝sin∠CDB，在Rt△BCD中，BCsin∠CDB＝BD＝2R，又 BCsin∠CDB＝BCsin∠BAC，∴BCsin∠BAC＝2R，即asinA＝2R
可证得：asinA＝2R
同理可证：bsinB＝2R，csinC＝2R
所以，不论△ABC是锐角三角形，直角三角形，还是钝角三角形，都有：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC的外接圆的半径)．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于其外接圆的直径．2．坐标法证余弦定理如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离r＝c
设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccosA，y＝csinA，即点B为(ccosA，csinA)，又点C的坐标是(b,0)．由两点间的距离公式，可得：a＝BC＝b－ccosA2＋－csinA2
两边平方得：a2＝(b－ccosA)2＋(－csinA)2＝b2＋c2－2bccosA
以△ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
