【创新设计】-学年高中数学2-5从力做的功到向量的数量积活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是().A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析A中若a⊥b,则有a·b=0,不一定有a=0,b=0.C中当|a|=|b|时,a2=b2,此时不一定有a=b或a=-b.D中当a=0时,a·b=a·c,不一定有b=c.答案B2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b=().A.B.C.1+D.2解析a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos60°=1+1×1×=.答案B3.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是().A.e1·e2=1B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.|e1·e2|<1解析∵e1,e2平行,∴e1与e2的夹角θ=0°或θ=180°,若θ=0°,则e1·e2=|e1||e2|cosθ=1×1×cos0°=1;若θ=180°,则e1·e2=|e1||e2|cosθ=1×1×cos180°=-1;综上得|e1·e2|=1.答案C4.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=________.解析由a∥b,可知a与b的夹角为0或π,故a·b=±30.答案±305.已知a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b),若|a|=2,|b|=3,则实数k的值为________.解析由已知a·b=0,a2=4,b2=9,(3a+2b)·(ka-b)=0⇒3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.∴12k-18=0,∴k=.答案6.已知a、b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.解∵a+3b与7a-5b垂直,∴(a+3b)·(7a-5b)=0,∵a-4b与7a-2b垂直,∴(a-4b)·(7a-2b)=0.于是有①-②得2a·b=b2.③将③代入①得a2=b2,∴|a|=|b|.∴cos〈a,b〉===.∵0°≤〈a,b≤〉180°,∴〈a,b〉=60°.综合提高限时25分钟7.如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则AB·BC的值是().A.1B.-1C.1或-1D.不确定,与B的大小,BC的长度有关解析法一根据数量积的定义,得AB·BC=-BA·BC=-|BA||BC|cosB.又cosB=,故AB·BC=-|BA|2=-1,故选B.法二从投影的角度来考虑,事实上,由于A=90°,AB·BC=-BA·BC=-|BA||BC|cosB,而|BC|cosB=|BA|,所以AB·BC=-|BA|2=-1.故选B.答案B8.已知|a|=3,|b|=2,a,b=60°,如果(3a+5b)⊥(ma-b),则m的值为().A.B.C.D.解析由已知可得(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2+(5m-3)a·b-5b2=0⇒3m·32+(5m-3)·3×2·cos60°-5×22=0,解之得m=.答案C9.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为().A.-1B.1C.D.2解析由已知条件向量a,b,c均为单位向量可知,a2=1,b2=1,c2=1,由a·b=0及(a-c)·(b-c)≤0可知,(a+b)·c≥1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c,所以有|a+b-c|2=3-2(a·c+b·c)=3-2c·(a+b)≤1,故|a+b-c|≤1.答案B10.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,则实数k的值为________.解析由题意知:a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=0,即ke+e1·e2-2ke1·e2-2e=0,即k+cos-2kcos-2=0,化简可求得k=.答案答案-211.对于两个非零向量a,b,求使|a+tb|最小时的t的值,并求此时b与a+tb的夹角.解|a+tb|2=a2+2(a·b)t+t2b2=|a|2+2(a·b)t+t2|b|2=|b|22+|a|2-.当t=-时,|a+tb|2取得最小值,即|a+tb|取得最小值.此时,b·(a+tb)=b·=a·b-b2=a·b-a·b=0.又∵b≠0,(a+tb)≠0,∴b⊥(a+tb).∴b与a+tb的夹角为90°.12.(创新拓展)已知|a|=,|b|=3,a与b夹角为45°,是否存在实数λ,使a+λb与λa+b所成的角为锐角?若存在,请求出λ所满足的条件;若不存在,请说明理由.解设a+λb与λa+b的夹角为θ.(a+λb)·(λa+b)=λa2+λb2+(λ2+1)a·b=λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)|a||b|cos45°=2λ+9λ+(λ2+1)×3×=3λ2+11λ+3.若θ为锐角,则cosθ>0.∵cosθ=,|a+λb||λa+b|>0,∴若θ为锐角,则(a+λb)·(λa+b)>0,即3λ2+11λ+3>0.令3λ2+11λ+3=0,得λ=.由于抛物线y=3λ2+11λ+3开口向上,与横轴交点的横坐标为和,所以使3λ2+11λ+3>0的λ的取值范围为λ<,或λ>.当a+λb与λa+b共线时,(a+λb)·(λa+b)=|a+λb||λa+b|,或(a+λb)·(λa+b)=-|a+λb||λa+b|,解得λ=1,或λ=-1,此时不符合题意.所以当λ∈∪∪(1∞,+)时,a+λb与λa+b所成的角为锐角.