高中数学 2-5从力做的功到向量的数量积活页训练 北师大版必修4VIP免费

【创新设计】-学年高中数学2-5从力做的功到向量的数量积活页训练北师大版必修4双基达标限时20分钟1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是()．A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案B2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b＝()．A.B.C．1＋D．2解析a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos60°＝1＋1×1×＝.答案B3．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是()．A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1D．|e1·e2|<1解析∵e1，e2平行，∴e1与e2的夹角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，则e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝1×1×cos0°＝1；若θ＝180°，则e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝1×1×cos180°＝－1；综上得|e1·e2|＝1.答案C4．已知|a|＝5，|b|＝6，若a∥b，则a·b＝________.解析由a∥b，可知a与b的夹角为0或π，故a·b＝±30.答案±305．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．解析由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，(3a＋2b)·(ka－b)＝0⇒3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.∴12k－18＝0，∴k＝.答案6．已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．解∵a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0.于是有①－②得2a·b＝b2.③将③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∵0°≤〈a，b≤〉180°，∴〈a，b〉＝60°.综合提高限时25分钟7．如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则AB·BC的值是()．A．1B．－1C．1或－1D．不确定，与B的大小，BC的长度有关解析法一根据数量积的定义，得AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cosB．又cosB＝，故AB·BC＝－|BA|2＝－1，故选B.法二从投影的角度来考虑，事实上，由于A＝90°，AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cosB，而|BC|cosB＝|BA|，所以AB·BC＝－|BA|2＝－1.故选B.答案B8．已知|a|＝3，|b|＝2，a，b＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为()．A.B.C.D.解析由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝.答案C9．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()．A.－1B．1C.D．2解析由已知条件向量a，b，c均为单位向量可知，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0可知，(a＋b)·c≥1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)＝3－2c·(a＋b)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案B10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.答案答案－211．对于两个非零向量a，b，求使|a＋tb|最小时的t的值，并求此时b与a＋tb的夹角．解|a＋tb|2＝a2＋2(a·b)t＋t2b2＝|a|2＋2(a·b)t＋t2|b|2＝|b|22＋|a|2－.当t＝－时，|a＋tb|2取得最小值，即|a＋tb|取得最小值．此时，b·(a＋tb)＝b·＝a·b－b2＝a·b－a·b＝0.又∵b≠0，(a＋tb)≠0，∴b⊥(a＋tb)．∴b与a＋tb的夹角为90°.12．(创新拓展)已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，是否存在实数λ，使a＋λb与λa＋b所成的角为锐角？若存在，请求出λ所满足的条件；若不存在，请说明理由．解设a＋λb与λa＋b的夹角为θ.(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋λb2＋(λ2＋1)a·b＝λ|a|2＋λ|b|2＋(λ2＋1)|a||b|cos45°＝2λ＋9λ＋(λ2＋1)×3×＝3λ2＋11λ＋3.若θ为锐角，则cosθ＞0.∵cosθ＝，|a＋λb||λa＋b|＞0，∴若θ为锐角，则(a＋λb)·(λa＋b)＞0，即3λ2＋11λ＋3＞0.令3λ2＋11λ＋3＝0，得λ＝.由于抛物线y＝3λ2＋11λ＋3开口向上，与横轴交点的横坐标为和，所以使3λ2＋11λ＋3＞0的λ的取值范围为λ＜，或λ＞.当a＋λb与λa＋b共线时，(a＋λb)·(λa＋b)＝|a＋λb||λa＋b|，或(a＋λb)·(λa＋b)＝－|a＋λb||λa＋b|，解得λ＝1，或λ＝－1，此时不符合题意．所以当λ∈∪∪(1∞，＋)时，a＋λb与λa＋b所成的角为锐角．