8.6椭圆一、选择题1．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A．2B．4C．8D.解析：连接MF2，已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10，|MF2|＝10－|MF1|＝8，如图，|ON|＝|MF2|＝4.答案：B2．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()A．－21B．21C．－或21D.或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.答案：C3．已知如图，椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积等于()A．a2tanB．a2cotC．b2tanD．b2cot解析：在△PF1F2中，由余弦定理得：2|PF1|·|PF2|·cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2＝(2a)2－2|PF1|·|PF2|－(2c)2(其中c2＝a2－b2)．∴|PF1|·|PF2|·(1＋cosθ)＝2b2，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sinθ＝··sinθ＝b2tan.答案：C4．椭圆＋＝1的右焦点为F，设A(－，)，P为椭圆上的动点，则|AP|＋|PF|取得最小值时P点的坐标是()A．(，)B．(5,0)C．(0,2)D．(0，－2)或(0,2)答案：A二、填空题5．如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率是________．解析：本题考查椭圆离心率的求法．由题得△PF1F2为直角三角形，设|PF1|＝m，则tan∠PF1F2＝，∴|PF2|＝，|F1F2|＝m，∴e＝＝＝.答案：6．(·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．解析：直线A1B2的方程为＋＝1，即bx－ay＝－ab，①直线B1F的方程为＋＝1，即－bx＋cy＝－bc，②解①②联立方程组得所以，T，则M.由已知条件：＋＝1，整理得3a2－10ac－c2＝0，即e2＋10e－3＝0，又0
90°，所以在椭圆上存在点Q，使∠F1QF2＝90°，③对；答案：②③三、解答题8．设P是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值．解答：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)则|PQ|＝.又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)．|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)(y－)2－＋1＋a2.因为|y|≤1，a>1，若a≥，则||≤1，当y＝时，|PQ|取最大值；若10)的准线l与x轴相交于点A，|OF|＝2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若，求直线PQ的方程；解答：(1)由题意，可设椭圆的方程为＋＝1(a>)．由已知得解得a＝，c＝2.所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e＝.(2)由(1)可得A(3,0)．设直线PQ的方程为y＝k(x－3)．由方程组得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0.依题意Δ＝12(2－3k2)>0，得－b>0)．分别设M、N和P点坐标为(－c,0)，(c,0)(c>0)和(x0，y0)． tanα＝tan(π－N)＝－tanN＝2，∴由题设知：解得：即P(，)．在△MNP中，MN＝2c，MN上的高为c，∴S△MNP＝×2c×c＝1，∴c＝.又|PM|＝＝，|PN|＝＝.∴a＝(|PM|＋|PN|)＝，从而b2＝a2－c2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.1．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为()A.B.C.＋...
