【创新设计】-学年高中数学3.1.3导数的概念和几何意义活页训练湘教版选修1-11．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()．A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交答案B2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()．A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)kA，即f′(xB)>f′(xA)．答案B3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()．A．4B．16C．8D．2解析在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x.答案C4．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________________．解析Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝lim＝lim(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.答案33x－y＋1＝05．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为________________．解析∵f′(x)＝lim＝lim＝lim＝lim(2x＋d)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.答案4x－y－5＝06．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．解设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.7．若f(x)在x＝x0处的导数存在，则lim等于()．A．2f′(x0)B.f′(x0)C．f′(x0)D．4f′(x0)解析答案C8．若f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式不可以是()．A．f(x)＝3xB．f(x)＝x3C．f(x)＝x2＋xD．f(x)＝2(x－1)2答案D9．设函数f(x)＝ax＋5，若f′(1)＝2，则a＝________.解析＝＝a，对趋于0的d，f′(x)＝a，∴f′(1)＝a＝2.答案210．对于函数y＝x2来说，其导数值等于原来的函数值的点是________．解析＝＝d＋2x→2x(d→0)，∴y′＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2.所以，所求点为(0,0)或(2,4)．答案(0,0)或(2,4)11．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．解设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为：y′|x＝x0＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，y′最小即直线斜率最小，最小值为3.此时P点坐标为(－1，－14)，此时切线方程为3x－y－11＝0.12．(创新拓展)在单位时间内通过导体在某一横截面的电量称为电流强度．若在规定时间段内，通过该截面的电量q＝f(t)．(1)试给出在t0时刻通过该截面的瞬时电流强度的定义；(2)若f(t)＝t2＋3t，试求在t0时刻通过该截面的瞬时电流强度．解(1)因为“单位时间内通过导体在某一横截面的电量称为电流强度”，所以在[t0，t0＋Δt]内的电量的平均变化率(即平均电流强度)为，因此在t0时刻通过该截面的瞬时电流强度为→f′(t0)(Δt→0)．(2)由＝→2t0＋3(Δt→0)．所以t0时刻的瞬时电流强度f′(t0)＝2t0＋3.
