3.2.2空间线面关系的判定双基达标限时20分钟1．若a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的值为________．解析因为ka＋b＝(k－2，5k＋3，5－k)，a－3b＝(7，－4，－16)，由(ka＋b)∥(a－3b)得＝＝，解得k＝－.答案－2．已知点A(1，2，1)、B(－1，3，4)、D(1，1，1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是________．解析设点P(x，y，z)，则由AP＝2PB，得(x－1，y－2，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，即解得∴|PD|＝＝.答案3．已知在四面体ABCD中，G、H分别是△ABC和△ACD的重心，则GH与BD的位置关系是________．解析设E、F各为BC和CD的中点，则GH＝GA＋AH＝(EA＋AF)＝EF，所以GH∥EF，所以GH∥BD.答案平行4．已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)，D(8，4，a)，如果四边形ABCD为梯形，则实数a的值为________．解析因为AB＝(4，－8，2)，BC＝(8，5，7)，DC＝(2，－4，10－a)，AD＝(10，1，a－1)，四边形ABCD为梯形，则AB∥DC，解得a＝9，此时BC与AD不平行．答案95．对任意一点O和不共线的三点A、B、C，并且OP＝xOA＋yOB＋zOC，若四点P、A、B、C共面，则x＋y＋z＝________.答案16．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面BDE.证明以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PD＝DC＝2，则A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，PA＝(2，0，－2)，DE＝(0，1，1)，DB＝(2，2，0)．设n1＝(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，则由得取y＝－1，得n1＝(1，－1，1)． PA·n1＝2－2＝0，∴PA⊥n1，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.综合提高（限时25分钟）7．若平面α、β的法向量分别为n1＝(1，2，－2)，n2＝(－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________．解析 n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β.答案平行8．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥面ABC，则BP等于________．解析因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，又因为BP⊥面ABC，所以BP·AB＝0，BP·BC＝0，解得x＝，y＝－.答案(，－，－3)9．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是________．解析求得AC＝(5，1，－7)，BC＝(2，－3，1)，因为AC·BC＝0，所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．答案直角三角形10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终________．解析因为DP·C1B＝(DA1＋A1P)·C1B＝(CB1＋A1P)·C1B＝CB1·C1B＋A1P·C1B＝A1P·C1B＝A1P·(C1C＋CB)＝A1P·C1C＋A1P·CB＝0，所以DP⊥C1B，即DP与BC1始终垂直．答案垂直11．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝1，BC＝a，a>1，PA⊥平面ABCD，PA＝1，点Q在BC上，问：是否对任意的a>1，都存在Q∈BC，使得PQ⊥DQ，请给出结论，并且说明理由．解如图，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，D(0，a，0)．令Q(1，t，0)，t∈[0，a]，则PQ＝(1，t，－1)，QD＝(－1，a－t，0)，假设PQ⊥DQ，则PQ·QD＝0，即－1＋(a－t)t＝0在t∈[0，a]上有解，当a≥2时，存在点Q(1，，0)，使得PQ⊥DQ；当1
