【创新设计】-学年高中数学7.4几何问题的代数解法活页训练湘教版必修31．已知△ABC的三个顶点是A(5,5)、B(1,4)和C(4,1)，则△ABC的形状是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析 |AB|＝＝，|BC|＝＝3，|AC|＝＝，∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．答案B2．方程y＝－表示的曲线是()．A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析由y＝－得x2＋y2＝25. y＝－≤0,∴曲线表示半个圆．答案D3．点M、N在x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为()．A．2B.C．1D．3解析由M、N两点关于直线x－y＋1＝0对称，可知直线x－y＋1＝0过圆心(－，－1)，∴k＝4，∴圆的方程即为(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，∴r＝3.答案D4．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F两点，圆心为C，则△CEF的面积为________．解析圆心(2，－3)到直线x－2y－3＝0的距离为d＝＝，∴|EF|＝2×＝2＝4，∴S△CEF＝×4×＝2.答案25．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值是________．解析表示点P(x，y)和点(－2，－3)的距离，则的最小值为点(－2，－3)到直线x＋y＋1＝0的距离，d＝＝＝2.答案26．有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地距离10km，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购买力货地点．解如图，以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)，设某地P的坐标为(x，y)，假设居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费3a元/千米，B地的运费为a元/千米，价格＋xA地运费≤价格＋xB地运费∴3a≤a， a>0，∴3≤.化简为(x＋)2＋y2≤()2.∴以点C(－，0)为圆心，为半径的圆是这两条购货的分界线．圆C内的居民，从A地购货便宜圆C外的居民，从B地购货便宜圆C上的居民，从A、B两地购货的总费用相等，因此可随便从A、B两地之一购货．7．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为()．A．24B．16C．8D．4解析 四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，|OP|＝＝2.其面积S最小值为8.答案C8．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区内的时间是()．A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h解析如右图所示，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，B城市将处于危险区，台风移动所在直线方程为y＝x，它与圆B相交弦为MN，则可求得|MN|＝20km，＝1，所以B城市位于危险区内的时间为1h.答案B9．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短距离为________．解析A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，A′与圆心的距离为＝5，最短距离为5－1＝4.答案410．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．解析由平面几何性质知：两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则＝－1，得m＝5，∴弦中点坐标为(3,1)，∴3－1＋c＝0，得c＝－2，∴m＋c＝3.答案311．已知x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，求x－2y的最大值．解设x－2y＝b，则点(x，y)既在直线x－2y＝b上，又在圆x2＋y2－2x＋4y＝0上，即直线x－2y＝b和圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5有公共点，故圆心(1，－2)到x－2y－b＝0的距离小于等于半径，所以≤，即|b－5|≤5，所以0≤b≤10，即b的最大值是10.12．(创新拓展)已知点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；(3)求x＋y的最大值与最小值．解圆x2＋y2－6x－6y＋14＝0变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4.如图所示．(1)表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线...
