10.3基本不等式及其应用(二)双基达标(限时20分钟)1．已知x>1，y>1且lgx＋lgy＝4，则lgx·lgy的最大值是()．A．4B．2C．1D.解析lgx>0，lgy>0，lgx·lgy≤＝4，当且仅当x＝y＝100时取等号．答案A2．若x>0，则函数y＝－x－()．A．有最大值－2B．有最小值－2C．有最大值2D．有最小值2解析∵x>0，∴x＋≥2，∴－x－≤－2.当且仅当x＝1时，等号成立，故函数y＝－x－有最大值－2.答案A3．设a，b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为()．A．6B．4C．2D．8解析2a＋2b≥2＝2＝4.答案B4．不等式y＝x(1－3x)(00，∴x(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤＝×＝.答案5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．解析＋＝2(x>0，y>0)，则2＝＋≥2，∴≥，xy≥15.当且仅当＝＝1.即x＝5，y＝3时，等号成立．答案156．求函数y＝的最小值．解y＝＝(x2＋1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x2＋1＝，即x2＋1＝1，即x＝0时等号成立．综合提高限时25分钟7．已知x，y是正数，且xy＝4，则＋取得最小值时，x的值是()．A．1B．2C．2D.解析＋≥2≥2＝2，此时＝，即x＝y＝2.答案C8．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()．A．x＝B．x≤C．x>D．x≥解析A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，从而(1＋x)2＝(1＋a)·(1＋b)≤＝，∴x≤.答案B9．已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值是________．解析∵lgx＋lgy＝2，即lg(x·y)＝2，∴xy＝100，∴＋＝＝(x＋y)≥·2＝.答案10．直角△ABC中，周长l为定值，则三角形面积S的最大值为________．解析设直角三角形的两条直角边分别为a，b.则a＋b＋＝l.∵a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.故l＝a＋b＋≥2＋∴≤，∴S＝ab≤l2答案l211．已知x≥，求f(x)＝的最小值．解∵x≥，∴x－2＞0，∴f(x)＝＝＝(x－2)＋≥2.当且仅当x－2＝，即x＝3，等号成立．故当x＝3时，ymin＝2.12．(创新拓展)为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB＝60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解如题图，设BC＝a(a>1)．AB＝c，AC＝b，b－c＝.c2＝a2＋b2－2abcos60°.将c＝b－代入得＝a2＋b2－ab.化简得b(a－1)＝a2－.∵a>1，∴a－1>0b＝＝＝(a－1)＋＋2≥＋2，当且仅当a－1＝时，取“＝”．即a＝1＋时，b有最小值2＋.综上，AC最短为(2＋)米，此时BC长为米
