§1.1.2有约束情况下的拉格朗日方程讨论：受约束的多个质点在保守力场中的运动方程出发点：牛顿第二定律设：N个质点，质量和矢径分别是。牛顿运动方程：——3N个标量方程一般情况下，3N个方程并不独立。方程组不独立的原因：有约束的存在。约束的定义：力学系统在运动过程中受到的限制(包括对位置和速度的限制)。约束的作用：1．使力学系统的坐标之间发生关联而不全部独立；2．给力学系统施加约束反力。约束反力：约束总是通过一些外界物体(如轻杆、滑槽、软绳等)作用在所研究的系统中的质点上。在运动过程中，系统中的质点对这些外界物体有作用力，同时受到这些物体的反作用力，称为约束反力。由于约束反力的作用，使质点的坐标满足约束方程；约束反力随时间变化，不能预先知道，只能通过解运动方程求得。约束方程：约束条件的数学表达式。可用等式或不等式表示。约束的例子：（1）阿特伍得机力学系统：物块1+物块2约束：光滑槽、轻绳、圆盘系统自由度：1m1的坐标：；m2的坐标：——共6个坐标约束方程：（显示屏所在平面）——5个方程。(自由度=6-5=1)（2）单摆描述m的坐标：（不独立）约束方程：（两个独立）系统自由度：2——自由度数目少于坐标的数目N个质点的3N个笛卡尔坐标：若这些坐标满足3N-S个等式（约束方程）：x：全部的独立方程的个数：3N-(3N-S)=S→力学体系只有S个独立坐标，即系统有S个自由度。约束的分类：1．约束方程中不含时间t——稳定约束2．约束方程中含时间t——不稳定约束3.由不等式表示的约束——可解约束4.由等式表示的约束——不可解约束约束的存在，使得力学系统的坐标不再独立→寻求独立坐标对于一个有S个自由度的力学系统，找到S个适合的变量，使3N个笛卡尔坐标是这S个变量的函数：以上函数关系满足约束方程，则这样的S个变量是决定系统中所有质点位置的独立变量，称为系统的广义坐标。广义坐标的引入解决了因约束方程相关联而不再全部独立的困难。例子：单摆中小球的直角坐标和摆角之间的关系。约束的存在，导致约束反力的存在，而约束反力不能预先知道，且很多时候并不关心约束反力→“消去”约束反力，只留下S个独立坐标所满足的方程。设：作用在第a个质点上的力为，写为：：主动力；：约束反力。目标：“消去”约束反力。方法：引入虚位移、虚功。单摆的运动：质点只能在以悬点（固定）O为球心，以摆长L为半径的球面上运动。虚位移的定义：在任一时刻，约束所允许的位移称为虚位移，用表示。对单摆：虚位移在半径为L的球面的切面上（当虚位移很小时），约束反力沿球面的半径方向。显然，所以：定义虚功：实位移与虚位移的区别：实位移：同时满足运动规律和约束条件，在时间间隔dt内所发生的位移为实位移，它是唯一确定的。虚位移：设想在某一给定的时刻，在约束允许的条件下系统所发生的位移。虚位移并非发生在时间的流动过程中，它属于人为引入的位移，目的是为了处理未知的约束反力。虚位移不是运动学和动力学问题，而是一个几何问题。举例：(1)不稳定约束情况下，dr和的区别。不稳定约束：悬点作简谐振动的单摆虚位移在以t时刻悬点所在位置O(t)为心的球面上，实位移的起始点和终点分别在以O(t)和O(t+dt)为球心的两个球面上。显然：垂直，但不垂直。(2)阿特伍得机的虚位移：滑槽对的约束反力：(垂直滑槽表面)显然：软绳对的约束反力：显然：则：而所以结论：在理想的无耗散情况下，①约束反力所做的虚功为零；②各个质点所受到的约束反力所做的虚功之和为零。即定义：满足上式条件的约束称为理想约束。由得：()()()1()0NaaaaamFrr主——虚功原理文字表述：在理想约束情况下，作用在各个质点上的主动力和惯性力所做的虚功之和为零。对于平衡系统：则：对于保守系统，势能U为：作用在第a个质点上的主动力：比较前面单个质点的相应公式：结论：无约束时，实位移；有约束时，虚位移。现在由推导有约束情况下N个质点组成的系统的拉格朗日方程。对求微分：——对实位移对虚位移求变分：而虚位移是固定在某一时刻t不变时，约束所允许的位移，故，因此系统的动能：令L=T-U，则——拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理推导拉格朗日方...
