1/26例题2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．[证明]选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，1???2aaxyz2???2aaxyz3???2aaxyz其中a是立方晶胞边长，???,,xyz是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积312312cVaaaa根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123231312222,,cccbaabaabaaVVV2123?????22222222cxyzVaaaabaaxyaaa2231?????22222222cxyzVaaaabaayzaaa2312?????22222222cxyzVaaaabaazxaaa2/26于是有：123222??????,,bxybyzbzxaaa显然123,,bbb正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a．同理，对面心立方点阵写出初基矢量1??2aaxy2??2aayz3??2aazx如图1.10所示。初基晶胞体积312314cVaaaa。根据式(2．1)计算倒易点阵矢量123222?????????,,bxyzbxyzbxyzaaa显然，123,,bbb正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a．2．2(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是32/cV，这里cV是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．[证明](a)倒易点阵初基晶胞体积为123bbb，现计算123bbb．由式(2．1)知，123231312222,,cccbaabaabaaVVV此处123cVaaa而3/26222331123121311222ccbbaaaaaaaaaaaaVV这里引用了公式：ABCDABDCABCD。由于3110aaa，故有22331212cbbaaaaV而312cVaaa故有22312cbbaV233123111232222cccbbbabaaaVVV或写成31231232bbbaaa倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的32倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量123,,aaa满足关系2331121231231231232,2,2bbbbbbaaabbbbbbbbb有前面知：22312cbbaV令223111231232122cbbcabbbVbbb又知312312cbbbV，代入上式得：4/263111322ccVcaaV同理31221232bbcabbb12331232bbcabbb可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．2．3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a)证明倒易点阵矢量123Ghklhbkblb垂直于这组平面(hkl)；(b)证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为：2dhklGhkl(c)证明对初基矢量123,,aaa互相正交的晶体点阵，有2221231dhklhklaaa(d)证明对简单立方点阵有222adhklhkl证明(a)参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是123,,ahakal．现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可．5/2631aaCAhl，32aaCBkl用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得3311123130aaaaGhklCAhbkblbhblbhlhl同理，0GhklCB故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)．(b)点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为123112?GhklhbkblbaadhklOAnhhGhklGhklGhkl(c)如果晶体点阵的初基矢量123,,aaa彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．设112233???,,bbxbbybbz由倒易点阵基矢的定义123231312222,,cccbaabaabaaVVV及123cVaaa得1122332,2,2bababa222222222212322212312322hklhklGhklhbkblbaaaaaa6/26于是面间距为22212321dhklGhklhklaaa(d)对立方晶系中的简单立方点阵，123aaaa，用(c)的结果可得222adhklhkl2．4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC=3，夹角BAC＝3的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．[解]解法之一参看图2．4，晶体点阵初基矢量为1?4ax2333??22axy用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量12,bb。设111222????,xyxybbxbybbxby由111221222,0,0,2babababa得到下面四个方程式11???42xyxbxby(1)7/2611333????022xyxybxby(2)22???40xyxbxby(3)22333????222xyxybxby(4)由式(1)得：1142,2xxbb由式(2)得：11333022xybb，即13330222yb解得：123yb由式(3)得：2240,0xxbb代入式(4)得：223342,233yybb于是得出倒易点阵基矢124???,22333bxyby解法之二选取3a为?z方向的单位矢量，即令3?az于是初基晶胞体积cV为123333????46322cVaaaxxyz倒易点阵基矢为12322333?????2226323cbaaxyzxyV23124?33cbaayV8/263122?2cbaazV对二维点阵，仅取??,xy两个方向，于是得124???,22333bxyby2．5简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的初基矢量可以取为12...
