小专题(三)平行四边形的证明思路类型1若已知条件出现在四边形的边上，则考虑：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．如图，在?ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥DC.又∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形．2．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.求证：(1)BE＝CF；(2)四边形BECF是平行四边形．证明：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.在△AEB和△DFC中，∠AEB＝∠DFC，AE＝DF，∠A＝∠D，∴△AEB≌△DFC(ASA)．∴BE＝CF.(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF.又∵BE＝CF，∴四边形BECF是平行四边形．3．如图，在?ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.在△DCF和△BAE中，CD＝AB，∠DCF＝∠BAE，CF＝AE，∴△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.又∵BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．4．(2016·钦州)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：(1)BF＝DC；(2)四边形ABFD是平行四边形．证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，∴CE＝BE.在△DEC和△FEB中，CE＝BE，∠CED＝∠BEF，DE＝FE，∴△DEC≌△FEB(SAS)．∴BF＝DC.(2)∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE＝12AB.又∵EF＝DE，∴DE＝12DF.∴DF＝AB.又∵DF∥AB，∴四边形ABFD是平行四边形．5．如图，已知D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．解：ED与AG互相平分．理由：连接EG，AD.∵DE∥AF，DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE∥DF，AE＝DF.又∵FG＝2DF，∴DG＝DF.∴AE＝DG.又∵AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形．∴ED与AG互相平分.类型2若已知条件出现在四边形的角上，则考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．类型3若已知条件出现在对角线上，则考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”7．如图，?ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.在△FDO和△EBO中，∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，OD＝OB，∴△FDO≌△EBO(AAS)．∴OF＝OE.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．8．如图，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH是平行四边形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.在△OAE和△OCF中，∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF.同理可证得OG＝OH.∴四边形EGFH是平行四边形．
